Xem mã nguồn của Định lý cos

{{về|Định lý cos trong [[hình học Euclid]]|định lý cos trong [[quang học]]|định lý cos Lambert}}
[[Hình:Triangle with notations 2.svg|nhỏ|198px|phải||Hình 1 – Một tam giác với các góc ''α'' (hoặc ''A''), ''β'' (hoặc ''B''), ''γ'' (hoặc ''C'') lần lượt đối diện với các cạnh ''a'', ''b'', ''c''.]]
{{Lượng giác}}
Trong [[lượng giác]], '''định lý cos''' biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một [[tam giác]] phẳng với [[Hàm lượng giác#Các hàm lượng giác cơ bản|cosin]] của [[góc]] tương ứng:
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,</math>
 
hoặc
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\,</math>
 
Công thức trên cũng có thể được viết dưới dạng:
 
:<math>\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,</math>
 
Định lý cos khái quát [[định lý Pytago]] (định lý Pytago là trường hợp riêng trong [[tam giác vuông]]): nếu ''γ'' là góc vuông thì {{nowrap|cos ''γ'' {{=}} 0,}} và định lý cos trở thành [[định lý Pytago]]:
:<math>c^2 = a^2 + b^2\,</math>
 
Định lý cos được dùng để tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc giữa hai cạnh đó, hoặc tính các góc khi chỉ biết chiều dài ba cạnh của một tam giác.
 
Định lý cos được biểu diễn tương tự cho hai cạnh còn lại:
:<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,</math>
:<math>b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\,</math>
 
[[Hình:Obtuse Triangle With Altitude ZP2.png‎|nhỏ|300px|Hình 2 – Tam giác tù ''ABC'' với đường cao ''BH'']]

==Ứng dụng==
[[Hình:triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg|nhỏ|240px|phải|Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: tìm cạnh chưa biết và góc chưa biết.]]
Định lý cos được dùng trong [[phép đạc tam giác]] để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm:
*cạnh thứ ba của một tam giác nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:
::<math>\,c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}\,;</math>
*ba góc nếu biết ba cạnh của tam giác
::<math>\,\gamma = \arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\,;</math>
*cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh đó:
::<math>\, a=b\cos\gamma \pm \sqrt{c^2 -b^2\sin^2\gamma}\,.</math>

Công thức thứ ba có được nhờ giải [[phương trình bậc hai]] {{nowrap|''a''<sup>2</sup> − 2''ab'' cos ''γ'' + ''b''<sup>2</sup> − ''c''<sup>2</sup> {{=}} 0}} với ẩn ''a''. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu {{nowrap|''b'' sin ''γ'' &lt; ''c'' &lt; ''b'',}} một nghiệm dương nếu {{nowrap|''c'' &ge; ''b''}} hoặc ''c'' = ''b'' sin ''γ'', và vô nghiệm nếu {{nowrap|''c'' &lt; ''b'' sin ''γ''.}}
{{clear}}

==Chứng minh==
===Sử dụng công thức tính khoảng cách===
Trong [[hệ tọa độ Descartes]], cho tam giác ''ABC'' có ba cạnh ''a'', ''b'', ''c'' và ''γ'' là góc đối diện cạnh ''c'' với tọa độ ba đỉnh lần lượt là
:<math>A = (b \cos\gamma,\ b \sin\gamma),\ B = (a,\ 0),\ C = (0,\ 0)\,.</math>

Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có
:<math>c = \sqrt{(a - b \cos\gamma)^2 + (0 - b \sin\gamma)^2}\,.</math>
do đó
:<math>\begin{align}
c^2 & {} = (a - b \cos\gamma)^2 + (- b \sin\gamma)^2 \\
c^2 & {} = a^2 - 2 a b \cos\gamma + b^2 \cos^2 \gamma + b^2 \sin^2 \gamma \\
c^2 & {} = a^2 + b^2 (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma) - 2 a b \cos\gamma \\
c^2 & {} = a^2 + b^2 - 2 a b \cos\gamma\,.
\end{align}</math>
Công thức này sử dụng được cả trường hợp tam giác nhọn và tam giác tù.

===Sử dụng công thức lượng giác===
[[Hình:Triangle-with-cosines.svg|nhỏ|phải|300px|Hình 4 - Tam giác nhọn và đường cao]]
Hạ [[đường cao]] tương ứng với cạnh ''c'' như hình 4 ta có
:<math>c=a\cos\beta+b\cos\alpha\,.</math>

(Công thức trên vẫn đúng nếu ''α'' hoặc ''β'' là góc tù, khi đó đường cao nằm ngoài tam giác và cos α hoặc cos β mang dấu âm). Nhân hai vế với ''c'' ta được
:<math>c^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha.\,</math>

Tương tự ta có 
:<math>a^2 = ac\cos\beta + ab\cos\gamma,\,</math>
:<math>b^2 = bc\cos\alpha + ab\cos\gamma.\,</math>
Cộng vế theo vế hai phương trình sau ta có 
:<math>a^2 + b^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha + 2ab\cos\gamma.\,</math>

Trừ vế theo vế phương trình đầu ta có 
:<math>a^2 + b^2 - c^2 = - ac\cos\beta - bc\cos\alpha+ ac\cos\beta + bc\cos\alpha + 2ab\cos\gamma\,</math>

đơn giản còn
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.\,</math>

===Sử dụng định lý Pytago===
[[Hình:Obtuse Triangle With Altitude ZP.svg‎|nhỏ|200px|Hình 5 – Tam giác tù ''ABC'' với đường cao ''BH'']]
'''Trường hợp tam giác tù'''. [[Euclid]] chứng minh đinh lý bằng cách áp dụng [[Định lý Pytago]] cho hai tam giác vuông trong Hình 5. Đặt ''CH'' = ''d'' và ''BH'' = ''h'', trong tam giác ''AHB'' ta có 
:<math>c^2 = (b+d)^2 + h^2,\,</math>
và trong tam giác ''CHB'' ta có 
:<math>d^2 + h^2 = a^2.\,</math>
[[Khai triển đa thức]] phương trình đầu tiên: 
:<math>c^2 = b^2 + 2bd + d^2 +h^2.\,</math>

thế phương trình thứ hai vào: 
:<math>c^2 = a^2 + b^2 + 2bd.\,</math>

Đây là mệnh đề 12 của Euclid trong tập 2 của bộ ''[[Cơ sở (Euclid)|Cơ sở]]''.<ref name=Joyce>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII12.html Java applet version] by Prof. D E Joyce of Clark University.</ref> Chú ý rằng
:<math>d = a\cos(\pi-\gamma)= -a\cos\gamma.\,</math>

'''Trường hợp tam giác nhọn'''. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc ''γ'' và đơn giản bằng nhị thức.

[[Hình:Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg|nhỏ|319px|trái|Hình 6 – Chứng minh bằng lượng giác trong trường hợp tam giác nhọn]]
'''Cách khác trong trường hợp tam giác nhọn'''. Dựa vào Hình 6 ta có: 
:<math>\begin{align}
c^2 & {} = (b-a\cos\gamma)^2 + (a\sin\gamma)^2 \\
& {} = b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma+a^2\sin^2\gamma \\
& {} = b^2 + a^2 - 2ab\cos\gamma,
\end{align}</math>

với lưu ý rằng 
:<math>\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1.\,</math>

Cũng từ Hình 6 ta có: 
:<math>\tan\alpha = \frac{a\sin\gamma}{b-a\cos\gamma}</math>

Công thức này được dùng để tính một góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.

===Sử dụng định lý Ptolemy===
[[Hình:Ptolemy cos.svg|nhỏ|300px|phải|Chứng minh định lý cos bằng [[định lý Ptolemy]]]]
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ''ABC''. Dựng tam giác ''ABD'' bằng tam giác ''ABC'' với ''AD'' = ''BC'' và ''BD'' = ''AC''. Hạ đường cao từ ''D'' và ''C'', cắt ''AB'' lần lượt tại ''E'' và ''F''. Ta có:
:<math>\begin{align}
& BF=AE=BC\cos\hat{B}=a\cos\hat{B} \\
\Rightarrow \ & DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos\hat{B}. 
\end{align}</math>

Áp dụng [[định lý Ptolemy]] cho [[tứ giác nội tiếp]] ''ABCD'':
:<math>\begin{align}
& AD \times BC + AB \times DC = AC \times BD \\
\Rightarrow \ & a^2 + c(c-2a\cos\hat{B})=b^2 \\
\Rightarrow \ & a^2+c^2-2ac \cos\hat{B}=b^2.
\end{align}</math>

==Trong tam giác cân==
Trong [[Tam giác#Phân loại tam giác|tam giác cân]], do ''a'' = ''b'' nsup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} 2''a''<sup>2</sup> {{=}} 2''ab''}}:
:<math>c^2 = 2a^2 (1 - \cos\gamma).\;</math>
hay
:<math>\cos\gamma = 1 - \frac{c^2}{2a^2}</math>

==Sự tương đồng trong hình tứ diện==
Cho một tứ diện với ''α'', ''β'', ''γ'', ''δ'' là diện tích bốn mặt của tứ diện đó. Ký hiệu các [[góc nhị diện]] là <math>\scriptstyle{ \widehat{\beta\gamma}, }</math> và tương tự, ta có<ref>{{chú thích sách
|last=Casey
|first=John
|title=A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to Geodesy and Astronomy with Numerous Examples
|location=London
|publisher=Longmans, Green, & Company
|year=1889
|page=133}}</ref>
:<math>\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 - 2\left(\beta\gamma\cos\left(\widehat{\beta\gamma}\right) + \gamma\delta\cos\left(\widehat{\gamma\delta}\right) + \delta\beta\cos\left(\widehat{\delta\beta}\right)\right).\,</math>

==Định lý cos trong hình học phi Euclid ==
{{chính|Định luật cos (cầu)|Định luật cos (hyperbol)}}

==Xem thêm==
*[[Phép đạc tam giác]]
*[[Định lý sin]]
*[[Định lý tang]]
*[[Định lý cotang]]
*[[Công thức Mollweide]]
*[[Công thức nửa cạnh]]
*[[Đẳng thức lượng giác]]

==Tham khảo==
{{Tham khảo}}

{{DEFAULTSORT:Law Of Cosines}}
[[Thể loại:Lượng giác]]
[[Thể loại:Góc]]
[[Thể loại:Hình học tam giác]]
[[Thể loại:Định lý trong hình học phẳng]]
[[Thể loại:Tam giác]]
[[Thể loại:Định lý toán học|C]]
[[Thể loại:Hình học phẳng Euclid]]
[[Thể loại:Hình học sơ cấp]]
[[Thể loại:Định lý hình học|C]]