Xem mã nguồn của Bổ đề Bézout

{{Cần biên tập}}
{{Orphan|date=tháng 7 năm 2018}}

Trong [[lý thuyết số]] cơ bản, '''bổ đề Bézout''' được phát biểu thành [[Định lý toán học|định lý]] sau:

Nếu <math>d = \gcd(a,b)</math> là [[Ước số chung lớn nhất|ước chung lớn nhất]] của hai [[số nguyên]] không âm <math>a</math> và <math>b</math> thì:
* Tồn tại hai số nguyên <math>x</math> và <math>y</math> sao cho <math>a\cdot x + b\cdot y = d</math>,
* <math>d</math> là số nguyên dương nhỏ nhất có thể viết dưới dạng <math>a\cdot x + b\cdot y</math> và
* Mỗi số <math>e</math> có dạng <math>a\cdot x + b\cdot y</math> đều là bội của <math>d</math>.

Hai số <math>x</math> và <math>y</math> được gọi là '''hệ số Bézout''' của cặp <math>(a,b)</math>. Cặp <math>(x, y)</math> không phải là duy nhất. Có thể dùng [[giải thuật Euclid mở rộng]] để xác định giá trị của cặp <math>(x, y)</math>. Nếu <math>a</math> và <math>b</math> đồng thời khác 0 thì từ giải thuật Euclid mở rộng ta có cặp <math>(x, y)</math> sao cho <math>|x|\le \left |\frac{b}{d}\right |</math> và <math>|y|\le\left |\frac{a}{d}\right |</math>
(đẳng thức có thể xảy ra khi và chỉ khi ''a'' hoặc ''b'' là bội số của số còn lại).

Nhiều định lý khác trong lý thuyết số cơ bản là kết quả của bổ đề Bézout, chẳng hạn như [[bổ đề Euclid]] hoặc [[định lý [[số dư]] Trung Hoa]].

Tập xác định trong [[miền tích phân]] mà bổ đề Bézout chiếm giữ được gọi là [[miền Bézout]]. Đặc biệt, bổ đề Bézout nằm trong [[miền lý tưởng cơ bản]]. Mỗi định lý rút ra từ bổ đề Bézout là đúng trong tất cả các miền đó.

==Dạng của đáp án==

Với một cặp hệ số Bézout <math>(x, y)</math> được cho trước (bằng cách dùng [[giải thuật Euclid mở rộng]]), thì tất cả các cặp hệ số còn lại có dạng
:<math>\left(x+k\cdot \frac{b}{\gcd(a,b)},\ y-k\cdot \frac{a}{\gcd(a,b)}\right),</math>
với {{math|''k''}} là một số nguyên ngẫu nhiên và các phân số được đơn giản hóa thành các số nguyên.

Có chính xác 2 cặp trong tất cả các cặp hệ số Bézout thỏa
:<math> |x| \le \left |\frac{b}{\gcd(a,b)}\right |\quad \text{và}\quad |y| \le \left |\frac{a}{\gcd(a,b)}\right |,</math>
và đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi {{math|''a''}} hoặc {{math|''b''}} là bội số của số còn lại.

Kết quả này dựa trên tính chất của [[phép chia có dư]]: Cho 2 số nguyên ''c'' và ''d'', nếu ''c'' không chia hết cho ''d'' thì có chính xác một cặp <math>(q,r)</math> sao cho <math>c = d\cdot q + r</math> và <math>0 < r < |d|</math>, và một cặp khác sao cho <math>c = d\cdot q + r</math> và <math>0 < -r < |d|</math>.{{Cần dẫn nguồn|date=Tháng 11, 2017}}

Có thể xác định hai cặp hệ số Bézout nhỏ trên bằng cách chọn {{math|''k''}} trong công thức trên để lấy phần dư của phép chia {{math|''x''}} cho <math>b/\gcd(a,b)</math>.{{Cần dẫn nguồn|date=Tháng 11, 2017}}

Giải thuật Euclid mở rộng luôn cho ta một trong 2 cặp tối thiểu này.

===Ví dụ===

Cho ''a'' = 12, ''b'' = 26 và gcd (12, 26) = 6. Thì ta có bổ đề Bézout sau (hệ số Bézout có màu đỏ khi là cặp nhỏ nhất và là màu xanh cho các cặp còn lại.):

:<math>
\begin{align}
\vdots \\
12 &\times \color{blue}{-10} & + \;\; 42  &\times \color{blue}{3} &= 6 \\
12 &\times \color{red}{-3} & + \;\;42  &\times \color{red}{1} &= 6 \\
12 &\times \color{red}{4}  & + \;\;42  &\times\color{red}{-1} &= 6 \\
12 &\times \color{blue}{11} & + \;\;42  &\times \color{blue}{-3} &= 6 \\
12 &\times \color{blue}{18} & + \;\;42  &\times \color{blue}{-5} &= 6 \\
\vdots
\end{align}
</math>

==Chứng minh==
Cho hai số nguyên {{mvar|a}} và {{mvar|b}}, đặt <math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z}\}</math>. Tập {{mvar|S}} chứa các số nguyên dương và cũng chứa {{mvar|±a}} và {{mvar|±b}}. Cho 
<math>d = as + bt</math> là số nguyên dương nhỏ nhất trong {{mvar|S}}. Để chứng minh rằng {{mvar|d}} là ước chung lớn nhất của {{mvar|a}} và {{mvar|b}}, ta chỉ cần chứng minh rằng {{mvar|d}} là một ước số chung của {{mvar|a}} và {{mvar|b}}, bởi vì tất cả phần tử trong {{mvar|S}} bao gồm cả {{mvar|d}} là ước của ước chung lớn nhất. Thực tế, bất kỳ ước chung của {{mvar|a}} và {{mvar|b}} đều được chia hết bởi <math>as + bt=d</math>, do đó không thể lớn hơn {{mvar|d}}.

[[Phép chia có dư]] của {{mvar|a}} cho {{mvar|d}} có thể ký hiệu
:<math>a=d\cdot q+r\quad\text{với}\quad 0\le r<d</math>.
Số dư {{mvar|r}} nằm trong tập {{mvar|S}} do
:<math>
\begin{align}
r  & = a - q\cdot d \\
& = a - q\cdot (a\cdot s+b\cdot t)\\
& = a\cdot (1-q\cdot s) - b\cdot q\cdot t.
\end{align}
</math>
Khi {{mvar|d}} là số nguyên dương nhỏ nhất trong {{mvar|S}} thì phần dư {{mvar|r}} cần phải bằng 0, suy ra {{mvar|d}} là một ước của {{mvar|a}}. Tương tự {{mvar|d}} cũng là một ước số của {{mvar|b}}, ta có điều cần chứng minh.

==Tổng quát==

===Với nhiều hơn hai số nguyên===

Có thể mở rộng bổ đề Bézout với nhiều hơn hai số nguyên: nếu 
:<math>\gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d</math>

thì có các số nguyên <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> sao cho

:<math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math>

trong đó:
* ''d'' là số nguyên dương nhỏ nhất có dạng này
* mỗi số nguyên có dạng này là một bội số của ''d''

===Với đa thức===

===Với tập xác định lý tưởng cơ bản===

==Lịch sử==

[[Nhà toán học]] [[người Pháp]] [[Étienne Bézout]] (1730–1783) đã chứng minh bổ đề này cho đa thức.<ref>{{chú thích sách |author=Bézout, É.|authorlink=Étienne Bézout|url=https://books.google.com/books?id=FoxbAAAAQAAJ&hl=en&pg=PP5 |title=Théorie générale des équations algébriques |place=Paris, France |publisher=Ph.-D. Pierres |year=1779}}</ref> Tuy nhiên người chứng minh định lý này cho các số nguyên là nhà toán học người Pháp khác [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]] (1581–1638).<ref>
{{chú thích sách | last=Tignol | first=Jean-Pierre | title=Lý thuyết Galois về phương trình đại số| publisher=World Scientific| location=Singapore | year=2001 | isbn=981-02-4541-6}}
</ref><ref>
{{chú thích sách|author=Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac)|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|edition=2nd|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|year=1624|pages= 18–33|url=http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de}}  Trong bài báo này, Bachet chứng minh (không có công thức) "Proposition XVIII.  Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre."  (Cho hai số nguyên tố cùng nhau, tìm bội nhỏ nhất của từng số nhân với một số mà hiệu của 2 bội này bằng 1. Bài toán này (a*x - b*y = 1) là trường hợp đặc biệt của phương trình Bézout và được Bachet dùng để chứng minh các bài toán trong trang 199 ff.
</ref><ref>
Xem thêm: {{cite journal|date=February 2009|author=Maarten Bullynck|title=Số học mô đun trước C.F. Gauss: Hệ thống hóa và thảo luận về các bài toán phần dư trong thế kỷ thứ 18 ở Đức|doi=10.1016/j.hm.2008.08.009|journal=Historia Mathematica|volume=36|issue=1|pages=48–72|url=http://hal.inria.fr/docs/00/66/32/92/PDF/Gauss_Modular_Oct2008.pdf}}</ref>

==Xem thêm==
* [[AF+BG theorem|định lý AF+BG]], một bổ đề Bézout tương tự dành cho đa thức đồng nhất trong ba số vô định.
* [[Định lý cơ bản của số học]]
* [[Bổ đề Euclid]]

==Chú thích==
{{Tham khảo|2}}

==Liên kết ngoài==
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/arithmetic/bezout.en Máy tính online] cho bổ đề Bézout.
* {{mathworld|urlname=BezoutsIdentity|title=Bổ đề Bezout}}

{{sơ khai}}

[[Thể loại:Bổ đề]]