Xem mã nguồn của Giả thiết continuum

{{chú thích trong bài}} 
[[Tập tin:Anh xa.JPG|nhỏ|So sánh lực lượng hai tập hợp]]
'''Giả thiết continuum''' hay '''bài toán continuum''' là một [[giả thiết]] [[toán học]], cho rằng không có [[tập hợp]] nào có [[lực lượng (tập hợp)|lực lượng]] lớn hơn lực lượng của tập các [[số tự nhiên]] và nhỏ hơn lực lượng của tập các [[số thực]].
*Quan hệ so sánh giữa hai tập hợp: Tập hợp X được gọi là có lực lượng nhỏ hơn lực lượng của tập Y nếu [[ánh xạ]] từ X vào Y là [[đơn ánh]] và không phải là [[toàn ánh]].

Giả thiết này được [[Georg Cantor]] nêu ra, sau khi ông chứng minh được lực lượng của hai [[tập hợp vô hạn]] là số tự nhiên và số thực là khác nhau, trong đó lực lượng của các số tự nhiên ([[tập hợp đếm được|lực lượng đếm được]]) nhỏ hơn lực lượng của các số thực ([[lực lượng continuum]]).

Giả thiết được thể hiện như sau:

<center><math>\not\exists \mathbb{A}: \aleph_0 < |\mathbb{A}| < 2^{\aleph_0}.</math></center>

Trong đó ký hiệu <math>|\mathbb{Z}|=\aleph_0</math> là lực lượng của tập hợp vô hạn rời rạc đếm được, <math>|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}</math> là lực lượng của tập hợp vô hạn liên tục không đếm được.

Năm 1900, khi [[David Hilbert]] đưa ra [[Các bài toán của Hilbert|23 bài toán]] chưa giải quyết được, đây là bài toán đầu tiên.

Vào năm [[1940]], [[Kurt Gödel]] đã chỉ ra rằng không thể bác bỏ giả thiết continuum nếu dùng [[lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel]]. Sau đó, vào năm [[1963]], [[Paul Cohen]] lại chỉ ra rằng không thể dùng lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel để chứng minh giả thiết continuum. Như vậy, giả thiết continuum là độc lập với lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel.

Nhiều nhà toán học đã nghi ngờ giả thiết continuum là sai, trong khi đó cũng có trường phái tin giả thiết này là đúng.

Giả thiết continuum cũng được mở rộng thành '''giả thiết continuum tổng quát''', phát biểu là: nếu ''S'' là một [[tập hợp vô hạn]] thì không tồn tại tập nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của ''S'' và nhỏ hơn lực lượng của [[tập lũy thừa]] của ''S''. Trường hợp riêng khi ''S'' là tập các số tự nhiên, tập lũy thừa của các số tự nhiên có cùng lực lượng với tập số thực, và ta thu được giả thiết continuum ban đầu.

==Chú thích==
{{Tham khảo}}
 
==Tham khảo==
==Liên kết ngoài==
*{{mathworld|author=Szudzik, Matthew và Weisstein, Eric W.|title=Continuum hypothesis|urlname=ContinuumHypothesis}}
{{Lý thuyết tập hợp}}
{{Các bài toán của Hilbert}}
{{sơ khai toán học}}

[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Lực lượng tập hợp]]
[[Thể loại:Các bài toán của Hilbert]]
[[Thể loại:Vô hạn]]