Xem mã nguồn của Giai thừa

<div class="thumb tright"><div style="width:25em;">
{| class="wikitable" style="margin:0; text-align:right;"
|-
! ''n''
! ''n''!
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || {{gaps|5|040}}
|-
| 8 || {{gaps|40|320}}
|-
| 9 || {{gaps|362|880}}
|-
| 10 || {{gaps|3|628|800}}
|-
| 15 || {{gaps|1|307|674|368|000}}
|-
| 20 || {{gaps|2|432|902|008|176|640|000}}
|-
| 25 || {{val|1.5511210043|e=25}}
|-
| 50 || {{val|3.0414093202|e=64}}
|-
| 70 || {{val|1.1978571670|e=100}}
|-
| 100 || {{val|9.3326215444|e=157}}
|-
| 171 || {{val|1.2410180702|e=309}}
|-
| 450 || {{val|1.7333687331|e=1000}}
|-
| {{gaps|1|000}} || {{val|4.0238726008|e=2567}}
|-
| {{gaps|3|249}} || {{val|6.4123376883|e=10000}}
|-
| {{gaps|10|000}} || {{val|2.8462596809|e=35659}}
|-
| {{gaps|25|206}} || {{val|1.2057034382|e=100000}}
|-
| {{gaps|100|000}} || {{val|2.8242294080|e=456573}}
|-
| {{gaps|205|023}} || {{val|2.5038989317|e=1000004}}
|-
| {{gaps|1|000|000}} || {{val|8.2639316883|e=5565708}}
|-
| {{val|1.0248383838|e=98}} || [[googolplex|10<sup>{{val|1.0000000000|e=100}}</sup>]]
|-
| [[googol|{{val|1.0000000000|e=100}}]] || 10<sup>{{val|9.9565705518|e=101}}</sup>
|-
| {{val|1.7976931349|e=308}} || 10<sup>{{val|5.5336665775|e=310}}</sup>
|-
| colspan="2" | Các giá trị trên được tính bởi [[Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến|OEIS]].
|}
</div></div>

Trong [[toán học]], '''giai thừa''' là một [[toán tử]] một ngôi trên [[tập hợp]] các [[số tự nhiên]]. Cho n là một số tự nhiên dương, "''n giai thừa''", ký hiệu ''n!'' là tích của ''n'' số tự nhiên dương đầu tiên.
::n! = 1x2x3x...x n
::VD: 4! = 1.2.3.4 = 24
::8! = 1.2.3.....7.8 = 40 320

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước ''0!'' = 1.
Ký hiệu <tt>''n''!</tt> được dùng lần đầu bởi [[Christian Kramp]] vào năm [[1808]].<br />
Giai thừa phổ biến trong các phép toán tổ hợp - xác suất

== Định nghĩa đệ quy ==
Ta có thể định nghĩa [[đệ quy]] ([[lập luận quy nạp|quy nạp]]) n! như sau

# 0! = 1 
# (''n'' + 1)! =''n''! × (''n'' + 1) với ''n''> 0
Chứng minh: Ta có:

''n''! × (''n'' + 1) =1.2.3....n.(n+1) =(n + 1)!

Ví dụ: 3! = 2! x 3 = 6 (vì 2! = 1.2=2)

== Một số tính chất của giai thừa ==
# Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn [[hàm mũ]] nhưng chậm hơn [[hàm mũ hai tầng]] (a<sup>b<sup>c</sup></sup>) có cùng cơ số và mũ.
# <math>\log n! = \sum_{x=1}^n \log x.</math>
# <math> \int_1^n \log x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \log x \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx</math>
# <math> n\log\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log\left(\frac{n+1}{e} \right) + 1.</math>
# <math>e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.</math>
# <math>n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math> (Công thức [[Stirling]]).
# <math>n! > \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
# <math>\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\log(\pi)} {2}.</math>
Đây là công thức ước lượng của [[Srinivasa Ramanujan]].

== Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa ==
* Công thức tính số tổ hợp:

:<math>C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}(0 < k \le n)</math>

* Công thức tính số chỉnh hợp:

:<math>A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}(0 < k \le n)</math>

==Mở rộng cho tập số rộng hơn==
Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

===Công thức Gamma===
Là công thức mang tên một [[bảng chữ cái Hy Lạp|chữ cái Hy Lạp]] do nhà toán học [[Pháp]], [[Adrien-Marie Legendre]] đề ra. Hàm số này có dạng sau:
:<math>\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,{\rm d}t</math>

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:
:<math>\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)\,.</math>

Khi đó ta có:
:<math>z! = \Gamma(z + 1).\,</math>

Sau này [[Leonhard Euler|Euler]] và [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] đã biến đổi lại thành:
:<math>\Gamma(z)\ = \lim_{n \to \infty}\frac {n^zn!}{\prod_{k = 0}^n (n + k)}</math>

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:
:<math>\Gamma(z)\ \Gamma(1 - z)\ = \frac {\pi}{\sin ({\pi}z)}</math>

Thay z = 1/2 ta thu được:
:<math>\Gamma \left(\frac {1}{2} \right)\ = \sqrt{\pi}</math>

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:
:<math>
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\,.
</math>

Hai công thức dưới đây là do [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] chứng minh:
:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right] </math>

:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right] </math>

===Giai thừa với số thực===
[[Hình:Factorial plot.png|nhỏ|500px|Giai thừa với số thực.]]
Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:
:<math>z! = \Pi(z) = \Gamma(z+1) \,.</math>

Như vậy:
:<math>(-0,5)! = \Pi \left(-\frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) \,.</math>

:<math>(n - 0,5)! = \Pi \left(n - \frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(n + \frac{1}{2} \right) \,.</math>

:<math>(-n - 0,5)! = \Pi \left(-n - \frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(-n + \frac{1}{2} \right) \,. </math>

Ví dụ:
*<math>\Gamma\left (4.5 \right) = 3.5! = \Pi\left (3.5\right) = {1\over 2}\cdot{3\over 2}\cdot{5\over 2}\cdot{7\over 2} \sqrt{\pi} = {8! \over 4^4 4!} \sqrt{\pi} = {105 \over 16} \sqrt{\pi} \approx 11.63.</math>
*<math>\Gamma\left (-2.5 \right) = (-3.5)! = \Pi\left (-3.5\right) = {2\over -1}\cdot{2\over -3}\cdot{2\over -5} \sqrt{\pi} = {(-4)^3 3! \over 6!} \sqrt{\pi} = -{8 \over 15} \sqrt{\pi} \approx -0.9453.</math>

===Giai thừa với số phức===
[[Hình:Factorial05.jpg|nhỏ|400px|Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức.]]
Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:
:<math>\Gamma(z) = \sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma^{(k)}(1)}{k!}z^{k-1}\,,</math>

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

<table border="2" cellpadding="4" cellspacing="2" style="margin:1em 1em 1em 0; background:#fff; border:1px #aaa solid; border-collapse:collapse;">
<tr>
<th><math>n</math></th>
<th><math>g_n</math></th>
<th>approximation</th>
</tr>

<tr>
<td>0</td>
<td><math>1</math></td>
<td><math>  1</math></td>
</tr>

<tr>
<td>1</td>
<td><math>-\gamma</math></td>
<td><math>- 0.5772156649</math></td>
</tr>

<tr>
<td>2</td>
<td><math>\frac{\pi^2}{12}+\frac{\gamma^2}{2}</math></td>
<td><math>  0.9890559955</math></td>
</tr>

<tr>
<td>3</td>
<td><math>-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi^2\gamma}{12}-\frac{\gamma^3}{6}</math></td>
<td><math>-0.9074790760</math></td>
</tr>
</table>

Ở đây <math>\gamma</math> là [[hằng số Euler - Mascheroni]] còn <math>\zeta</math> là [[hàm zeta Riemann]].

<gallery>
Hình: Complex gamma function abs.png|Đồ thị hàm Z = |z!|.
Hình: Complex gamma function Re.png|Đồ thị hàm Z = Re(z!).
Hình: Complex gamma function Im.png|Đồ thị hàm Z = Im(z!).
</gallery>

== Các khái niệm tương tự ==
=== Giai thừa nguyên tố (''primorial'') ===
Bài chi tiết: [[Giai thừa nguyên tố]]

'''Giai thừa nguyên tố''' (ký hiệu ''n''#) với n>1  là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng ''n''. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của ''[[Nguyên tố|prime]]'' và ''factorial''. Các ''giai thừa nguyên tố'' đầu tiên là:
: [[2 (số)|2]], [[6 (số)|6]], [[30 (số)|30]], 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo [[Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến|OEIS]]).

=== Giai thừa kép ===
Có thể coi ''n!'' là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

'''Giai thừa kép''' là tích ''n'' phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu ''1'' và công sai là ''2''.

:<math>
 n!!=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\quad\ &&\mbox{khi }n<=1;
   \\
    n(n-2)!!&&\mbox{khi }n\ge2.\qquad\qquad
   \end{matrix}
  \right.
 </math>

Ví dụ:
:8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = [[384 (number)|384]]
:9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. 
<center>
Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:
{|border="1"
|-
|''n'' || 0|| 1|| 2||3 || 4|| 5||6|| 7|| 8|| 9|| 10 
|-
|''n!! ||1|| 1|| 2|| 3|| 8||15||48||105|| 384|| 945|| 3840
|}
</center>

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

:<math>(n-2)!!=\frac{n!!}{n}</math>

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với ''n''= -1, -3, -5, -7,...là
: 1, -1, 1/3, -1/15...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:
:<math>n!=n!!(n-1)!! \,</math>
:<math>(2n)!!=2^nn! \,</math>
:<math>(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}</math>

Cũng nên phân biệt ''n''!! với (''n''!)!.

=== Giai thừa bội ===

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (''n''!!!),bội bốn (''n!!!!'')....

Tổng quát, giai thừa bội ''k'' ký hiệu là ''n''!<sup>(''k'')</sup>, được định nghĩa đệ quy như sau

:<math>
  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{khi }0\le n<k;
   \\
    n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{khi }n\ge k.\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.
 </math>

=== Siêu giai thừa(''superfactorial'') ===

[[Neil Sloane]] và [[Simon Plouffe]] đã định nghĩa '''siêu giai thừa''' (năm [[1995]]) là tích của ''n'' giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

:<math> \mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,</math>

Tổng quát

:<math>
  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 </math>

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ ''n'' = 0) là

:1, 1, 2, [[12 (number)|12]], 288, 34560, 24883200,... {{OEIS|id=A000178}}

Vào năm 2000, tư tưởng này được [[Henry Bottomley]] mở rộng thành '''siêu giả giai thừa''' (superduperfactorial) là tích của ''n'' siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ ''n'' = 0):

:1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...

và tiếp tục đệ quy với '''siêu giai thừa bội''' (multiple-level factorial) trong đó '''siêu giai thừa bội''' cấp ''m'' của ''n'' là tích của ''n'' siêu giai thừa bội cấp(''m'' − 1), nghĩa là

:<math>\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1)
 =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k} </math>

trong đó <math>\mathrm{mf}(n,0)=n</math> for <math>n>0</math> and <math>\mathrm{mf}(0,m)=1</math>.

=== Giai thừa trên ===

:<math>x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}</math>

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
== Liên kết ngoài ==
* {{Britannica|200040|Factorial (mathematics)}}
* {{TĐBKVN|11072|GIAI THỪA của một số tự nhiên n}}
* {{springer|title=Factorial|id=p/f038080}}
* {{MathWorld | urlname=Factorial | title=Factorial}}
* {{PlanetMath | urlname=Factorial | title=Factorial}}
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/faktorial.php?language=vi Tính toán của giai thừa]
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
[[Thể loại:Lý thuyết số]]
[[Thể loại:Toán học tổ hợp]]