Xem mã nguồn của Mặt tròn xoay

[[tập tin:Surface of revolution illustration.png|thumb|Mặt tạo bởi quay một phần của đường cong {{math|1=''x'' = 2 + cos ''z''}} xung quanh trục {{mvar|z}}.]]

Một '''mặt tròn xoay''' là một [[bề mặt (toán học)|bề mặt]] trong [[không gian Euclid]] tạo bằng cách quay một [[đường cong]] ('''đường sinh''') xung quanh một [[quay xung quanh một trục cố định|trục cố định]].<ref>{{chú thích sách|title=Analytic Geometry|last1=Middlemiss|last2=Marks|last3=Smart|edition=3rd|chapter=15-4. Surfaces of Revolution|LCCN=68015472|page=378}}</ref>

Ví dụ các mặt tròn xoay tạo từ một [[đường thẳng]] bao gồm [[hình trụ tròn]] và [[mặt nón]] phụ thuộc vào đường thẳng đó có song song với trục quay hay không. Khi quay một [[đường tròn]] xung quanh một [[đường kính]] của nó thu được một [[mặt cầu]] mà đường tròn chính là [[đường tròn lớn]] của nó, và nếu quay đường tròn xung quanh một trục nằm bên ngoài nó thì sẽ thu được [[hình xuyến|mặt xuyến]] không tự cắt chính nó (hay còn gọi là [[vòng xuyến]]).

==Các tính chất==
Giao tuyến của mặt phẳng đi qua trục quay của mặt tròn xoay gọi là ''tiết diện kinh tuyến'' (meridional sections). Bất kỳ tiết diện kinh tuyến nào cũng được coi là phần tử sinh trong mặt phẳng xác định bởi tiết diện và trục quay.<ref>{{citation|first1=W.A.|last1=Wilson|first2=J.I.|last2=Tracey|title=Analytic Geometry|edition=Revised|year=1925|publisher=D.C. Heath and Co.|page=227}}</ref>

Giao tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục quay và mặt tròn xoay là các đường tròn.

Một số trường hợp đặc biệt như [[hypeboloit]] (hyperboloid) (một phần hay hai phần) và [[elip paraboloit]] (elliptic paraboloid) là những mặt tròn xoay. Đây là những mặt bậc hai mà tiết diện vuông góc với trục quay là đường tròn.

==Công thức tính diện tích==
[[tập tin:Rotationskoerper animation.gif|nhỏ|phải|Quay một đường cong xung quanh một trục cho ra mặt tròn xoay.]]
Nếu một đường cong xác định bằng [[phương trình tham số]] {{math|''x''(''t'')}}, {{math|''y''(''t'')}}, với {{mvar|t}} xác định trên đoạn {{math|[''a'',''b'']}}, và trục tròn xoay là trục {{mvar|y}}, thì diện tích của mặt {{mvar|A<sub>y</sub>}} xác định bằng [[tích phân]]

:<math> A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, </math>

cho thấy {{math|''x''(''t'')}} luôn không âm giữa hai điểm {{mvar|a}} and {{mvar|b}}. Công thức này có dạng tương đương với [[định lý trọng tâm Pappus]] (Pappus's centroid theorem).<ref>{{chú thích sách|title=Calculus|first=George B.|last=Thomas|edition=3rd|chapter=6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus|pages=206–209, 217–219|LCCN=69016407}}</ref> Đại lượng

:<math>\sqrt{ \left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 }</math>

xuất phát từ [[định lý Pythagore]] và đại diện cho một đoạn nhỏ của cung của đường cong, giống như trong công thức [[độ dài cung]]. Đại lượng {{math|2π''x''(''t'')}} là quỹ đạo của trọng tâm của đoạn nhỏ này, như đòi hỏi bởi định lý Pappus.

Tương tự, khi trục quay là trục {{mvar|x}} và cho thấy hàm {{math|''y''(''t'')}} luôn không âm, diện tích mặt tròn xoay được tính bằng<ref>{{chú thích sách
|title=Engineering Mathematics
|edition=6
|author=Singh
|first=R.R.
|publisher=Tata McGraw-Hill
|year=1993
|isbn=0-07-014615-2
|page=6.90
|url=https://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg=SA6-PA90}}</ref>
:<math> A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt. </math>

Nếu đường cong được miêu tả bằng hàm {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}, {{math|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}}, thì tích phân trở thành

:<math>A_x = 2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \, dx</math>

đối với trục xoay là trục {{mvar|x}} và

:<math>A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy</math>

đối với trục xoay là trục {{mvar|y}} (sử dụng {{math|''a'' ≤ ''y'' ≤ ''b''}}). Các công thức này được rút ra từ công thức ở trên.

Ví dụ, [[mặt cầu]] bán kính đơn vị có đường sinh là đường cong xác định bởi tham số {{math|1=''y''(''t'') = sin(''t'')}}, {{math|1=''x''(''t'') = cos(''t'')}}, khi {{mvar|t}} thuộc đoạn {{math|[0,π]}}. Diện tích bề mặt của nó bằng
:<math>\begin{align}
A
 &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\big(\cos(t)\big)^2 + \big(\sin(t)\big)^2} \, dt \\
 &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt \\
 &{}= 4\pi.
\end{align}</math>

Đối với trường hợp mặt cầu bán kính {{mvar|r}}, phương trình đường cong {{math|1=''y''(''x'') = {{sqrt|''r''<sup>2</sup> − ''x''<sup>2</sup>}}}} quay xung quanh trục {{mvar|x}}
:<math>\begin{align}
A
 &{}= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
 &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx \\
 &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,dx \\
 &{}= 4 \pi r^2\,
\end{align}</math>

[[Mặt tròn xoay cực tiểu]] là mặt tròn xoay của đường cong đi qua hai điểm cho trước mà [[diện tích bề mặt]] của nó là [[Tối ưu hóa (toán học)|cực tiểu]].<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution">{{MathWorld | id=MinimalSurfaceofRevolution | title=Minimal Surface of Revolution}}</ref> Một vấn đề cơ bản trong [[phép tính biến phân]] đó là tìm đường cong giữa hai điểm cho trước mà tạo ra mặt tròn xoay cực tiểu.<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution"/>

Chỉ tồn tại có hai mặt tròn xoay cực tiểu đó là [[mặt phẳng]] và [[mặt catinoit]] (catenoid, mặt có đường sinh là đường dây xích (catenary)).<ref>{{MathWorld|id=Catenoid|title=Catenoid}}</ref>

==Quay một hàm số==
Để tạo ra một mặt tròn xoay từ hàm số {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}, thực hiện bằng cách tham số hóa {{mvar|u}} hàm số đó, và đặt trục quay của hàm số là trục {{mvar|u}}, sau đó sử dụng {{mvar|v}} để quay hàm xung quanh trục bằng cách đặt hai hàm số khác bằng {{math|''f''(''u'') sin ''v''}} và {{math|''f''(''u'') cos ''v''}}. Ví dụ, để quay hàm số {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} xung quanh trục {{mvar|x}} bắt đầu từ phía trên mặt phẳng {{mvar|xz}}, viết tham số hóa của nó bằng
:<math>\vec r(u,v)=\langle u,f(u)\sin v,f(u)\cos v\rangle</math>
với {{math|1=''u'' = ''x''}} and {{math|''v'' ∈ [0,2π]}}.

==Đường trắc địa trên một mặt tròn xoay==
[[Kinh tuyến]] trên mặt tròn xoay luôn luôn là đường trắc địa của mặt này. Các đường trắc địa khác bị chi phối bởi [[liên hệ Clairaut]].<ref>Pressley, Andrew. “Chapter 9 - Geodesics.” ''Elementary Differential Geometry'', 2nd ed., Springer, London, 2012, pp. 227–230.</ref>

==Hình phỏng xuyến==
{{chính|Hình phỏng xuyến}}
[[tập tin:Toroid by Zureks.svg|nhỏ|300px|Hình phỏng xuyến sinh từ một hình vuông.]]
Một mặt tròn xoay có lỗ ở bên trong và trục xoay không cắt bề mặt của nó, được gọi là hình phỏng xuyến (toroid).<ref>{{MathWorld|Toroid|Toroid}}</ref> Ví dụ, khi quay một hình chữ nhật quanh một trục song song với 1 cạnh của nó thì sẽ thu được hình phỏng xuyến có tiết diện là hình chữ nhật. Nếu xoay một [[đường tròn]], thì sẽ thu được [[hình xuyến]] (torus).

==Ứng dụng của mặt tròn xoay==
Mặt tròn xoay và các tính chất của nó được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực [[vật lý]] và [[kỹ thuật]]. Khi một đối tượng hình học được thiết kế bằng máy tính, từ các mặt tròn xoay có thể xác định được diện tích bề mặt mà không cần sử dụng đến đo độ dài và bán kính của vật được thiết kế.

==Xem thêm==
* [[Mặt kênh]] (Channel surface, một dạng tổng quát hóa của mặt tròn xoay)
* [[Sừng Gabriel]]
* [[Mặt Liouville]], một mặt tổng quát hóa khác của mặt tròn xoay
* [[Khối tròn xoay]]
* [[Tích phân mặt]]
* [[Helicoit tổng quát]] (Generalized helicoid)

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

==Liên kết ngoài==
*{{MathWorld|title=Surface of Revolution|urlname=SurfaceofRevolution}}
*{{chú thích web|url=http://www.mathcurve.com/surfaces/revolution/revolution.shtml |title=Surface de révolution |website=Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables |language=Pháp}}

{{DEFAULTSORT:Mặt tròn xoay}}
[[Thể loại:Phép tính tích phân]]
[[Thể loại:Mặt]]