Xem mã nguồn của Ma trận (toán học)

[[Tập tin:Matrix.svg|nhỏ|247px|phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a<sub>2,1</sub> biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất của ma trận '''A'''.]]

Trong [[toán học]], '''ma trận''' là một ''mảng'' [[hình chữ nhật|chữ nhật]]<ref>hoặc tương đương là ''bảng''</ref>—các [[số]], [[ký hiệu]], hoặc [[biểu thức (toán học)|biểu thức]], sắp xếp theo ''hàng'' và ''cột''<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=23}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=56}}</ref>—mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các ''phần tử'' hoặc ''mục''. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột

:<math>\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}. </math>
  
Khi các ma trận có cùng kích thước (chúng có cùng số hàng và cùng số cột), thì có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ hai ma trận trên các phần tử tương ứng của chúng. Tuy vậy, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn các [[biến đổi tuyến tính]], tức là sự tổng quát hóa [[hàm tuyến tính]] như {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} 4''x''}}. Ví dụ, [[phép quay]] các [[vectơ]] trong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một [[ma trận quay]] '''R''': nếu '''v''' là [[vectơ cột]] (ma trận chỉ có một cột) miêu tả [[Vị trí (vector)|vị trí]] của một điểm trong không gian, tích của '''Rv''' là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến đổi là một ma trận biểu diễn [[hàm hợp|hợp]] của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các [[hệ phương trình tuyến tính]]. Nếu là [[#ma trận vuông|ma trận vuông]], có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính [[định thức]] của nó. Ví dụ, ma trận vuông là [[ma trận khả nghịch]] [[nếu và chỉ nếu]] định thức của nó khác [[không]]. Quan niệm [[hình học]] của một phép biến đổi tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từ [[vectơ riêng|trị riêng và vec tơ riêng]] của ma trận.

Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong mỗi nhánh của [[vật lý học]], bao gồm [[cơ học cổ điển]], [[quang học]], [[điện từ học]], [[cơ học lượng tử]], và [[điện động lực học lượng tử]], chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động của [[vật rắn]]. Trong [[đồ họa máy tính]], ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong [[lý thuyết xác suất]] và [[thống kê]], các [[ma trận ngẫu nhiên]] được sử dụng để miêu tả tập hợp các xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán [[PageRank]] để xếp hạng các trang trong [[Google Search|lệnh tìm kiếm]] của [[Google]].<ref>K. Bryan and T. Leise. [https://www.rose-hulman.edu/~bryan/googleFinalVersionFixed.pdf The $25,000,000,000 eigenvector: The linear algebra behind Google]. SIAM Review, 48(3):569–581, 2006.</ref> [[Phép tính ma trận]] tổng quát hóa các khái niệm trong [[giải tích toán học|giải tích]] như [[đạo hàm]] và [[hàm mũ]] đối với số chiều lớn hơn.

Một nhánh chính của [[giải tích số]] dành để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, một chủ đề đã hàng trăm năm tuổi và là một lĩnh vực nghiên cứu rộng ngày nay. [[Ma trận#Khai triển ma trận|Phương pháp khai triển ma trận]] làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc biệt, như [[ma trận thưa]] (sparse) và [[ma trận chéo|ma trận gần chéo]], giúp giải quyết những tính toán trong [[phương pháp phần tử hữu hạn]] và những tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong [[cơ học thiên thể]] và lý thuyết nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn các toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến [[chuỗi Taylor]] của một [[hàm số]].

==Định nghĩa==
''Ma trận'' là một mảng chữ nhật chứa các số hoặc những đối tượng toán học khác, mà có thể định nghĩa một số phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận.<ref>{{Harvard citations |author=Lang |year=2002 |nb=yes }}</ref> Hay gặp nhất đó là ma trận trên một [[trường (đại số)|trường]] ''F'' là một mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô hướng của ''F''.<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=209}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=37}}</ref> Bài viết này đề cập đến các ''ma trận thực'' và ''phức'', tức là các ma trận mà các phần tử của nó là những [[số thực]] hoặc [[số phức]]. Những loại ma trận tổng quát hơn được thảo luận ở bên dưới. Ví dụ, ma trận thực:

:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
     -1,3 & 0,6 \\
     20,4 & 5,5 \\
      9,7 & -6,2 
  \end{bmatrix}. </math>

Các số, ký hiệu hay biểu thức trong ma trận được gọi là các ''phần tử'' của nó. Các đường theo phương ngang hoặc phương dọc chứa các phần tử trong ma trận được gọi tương ứng là ''hàng'' và ''cột''.

===Độ lớn===
Độ lớn hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột mà ma trận có. Một ma trận ''m'' hàng và ''n'' cột được gọi là ma trận ''m''&nbsp;×&nbsp;''n'' hoặc ma trận ''m''-nhân-''n'', trong khi ''m'' và ''n'' được gọi là ''chiều'' của nó. Ví dụ, ma trận '''A''' ở trên là ma trận 3&nbsp;×&nbsp;2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là ''[[vectơ hàng]]'', và những ma trận chỉ có một cột gọi là ''[[vectơ cột]]''. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ''[[ma trận vuông]]''. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là [[#Ma trận vô hạn|''ma trận vô hạn'']]. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là [[#ma trận rỗng|''ma trận rỗng'']].

{| class="wikitable"
|-
! Tên gọi!! Độ lớn!! Ví dụ!! Miêu tả 
|-
| Vectơ hàng || 1&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math>
| Ma trận có một hàng, đôi lúc được dùng để biểu diễn một vectơ  
|-
| Vectơ cột || ''n''&nbsp;×&nbsp;1 || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
| Ma trận có một cột, đôi lúc được dùng để biểu diễn một vectơ  
|-
| [[Ma trận vuông]] || ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}
  9 & 13 & 5 \\
  1 & 11 & 7 \\
  2 & 6  & 3
  \end{bmatrix}</math> 
| Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn [[#Phép biến đổi tuyến tính|phép biến đổi tuyến tính]] từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt.
|}

==Lịch sử==
Ma trận có một lịch sử dài về ứng dụng trong giải các [[phương trình tuyến tính]] nhưng chúng được biết đến là các mảng cho tới tận những năm 1800. [[toán học Trung Quốc|Cuốn sách]] ''[[Cửu chương toán thuật]]'' viết vào khoảng năm [[152 TCN]] đưa ra ''phương trận'' để giải hệ năm phương trình tuyến tính,<ref>{{Harvard citations |last1=Shen |last2=Crossley |last3=Lun |year=1999 |nb=yes }} cited by {{Harvard citations | last1=Bretscher | year=2005|nb=yes|loc=p. 1}}</ref> bao gồm khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học người Ý [[Girolamo Cardano]] giới thiệu phương pháp giải này vào châu Âu khi ông công bố quyển ''Ars Magna''.<ref name=":1">Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, ngày 10 tháng 10 năm 2001 ISBN 978-0321079121  | p.564-565</ref> [[toán học Nhật Bản|Nhà toán học Nhật Bản]] [[Seki Kowa|Seki]] đã sử dụng phương pháp mảng này để giải hệ phương trình vào năm 1683.<ref>{{chú thích sách |last1=Needham |first1=Joseph |authorlink1=Joseph Needham |last2=Wang Ling |authorlink2=Wang Ling (historian) |title=Science and Civilisation in China |url=http://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117 |volume=III |year=1959 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |isbn=9780521058018 |page=117}}</ref> Nhà toán học Hà Lan ''[[Jan de Witt]]'' lần đầu tiên biểu diễn các biến đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 ''Elements of Curves'' (1659).<ref name=":0">Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, ngày 10 tháng 10 năm 2001 ISBN 978-0321079121  | p.564</ref> Giữa các năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] công bố phương pháp sử dụng các mảng để ghi lại thông tin hay tìm nghiệm và nghiên cứu trên 50 loại ma trận khác nhau.<ref name=":1"/> [[Gabriel Cramer|Cramer]] đưa ra [[quy tắc Cramer|quy tắc của ông]] vào năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh "matrix" (tiếng [[Latin]] là "womb", dẫn xuất từ ''[[wikt:mater#Latin|mater]]''—mẹ<ref>{{Citation |url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix |title=Merriam–Webster dictionary |accessdate=ngày 20 tháng 4 năm 2009 |publisher=[[Merriam–Webster]] }}</ref>) do James Joseph [[James Joseph Sylvester|Sylvester]] nêu ra vào năm 1850,<ref>Mặc dù nhiều nguồn cho rằng J. J. Sylvester đưa ra thuật ngữ "matrix" vào năm 1848, nhưng Sylvester không công bố tài liệu nào vào năm 1848. (Về dẫn chứng cho Sylvester không công bố gì vào năm 1848, xem:  J. J. Sylvester và H. F. Baker, ed., ''The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester'' (Cambridge, England:  Cambridge University Press, 1904), [http://books.google.com/books?id=r-kZAQAAIAAJ&pg=PR6#v=onepage&q&f=false vol. 1.]) Năm đầu tiên mà ông sử dụng "matrix" xuất hiện vào năm 1850:  J. J. Sylvester (1850) "Additions to the articles in the September number of this journal, "On a new class of theorems," and on Pascal's theorem," ''The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science'',  '''37''':  363-370.  [http://books.google.com/books?id=CBhDAQAAIAAJ&pg=PA369#v=onepage&q&f=false From page 369]:  "For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns.  This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants … "</ref> khi ông nhận ra rằng ma trận là một đối tượng làm xuất hiện một số định thức mà ngày nay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu được từ ma trận ban đầu bằng cách xóa đi các hàng và các cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:
: Tôi đã định nghĩa trong bài báo trước về "Ma trận" là một mảng chữ nhật chứa các phần tử, mà những định thức khác nhau có thể đưa ra định thức của ma trận mẹ.<ref>The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, [http://books.google.com/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247&dq=sylvester+matrix+womb&hl=en&ei=uJakTaytCoOv8gPa5cG5Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CE8Q6AEwBw#v=onepage&q&f=false Paper 37], p. 247</ref>

[[Arthur Cayley]] đăng một chuyên luận về các phép biến đổi hình học sử dụng ma trận ngoài những phép biến đổi quay đã được khảo sát trước đó. Thay vào đó, ông định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia những ma trận này và chứng tỏ các quy tắc kết hợp và phân phối vẫn được thỏa mãn. Cayley đã nghiên cứu và minh chứng tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận cũng như tính giao hoán của phép cộng ma trận.<ref name=":1"/> Lý thuyết ma trận sơ khai bị giới hạn ở cách sử dụng các mảng và tính định thức và các phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã làm nên cuộc cách mạng cho lý thuyết này. Ông áp dụng khái niệm ma trận cho hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố ''Hồi ký về lý thuyết ma trận''<ref>Phil.Trans. 1858, vol.148, pp.17-37 Math. Papers II 475-496</ref><ref>{{Harvard citations |editor1-last=Dieudonné |year=1978 |loc=Vol. 1, Ch. III, p. 96 |nb=yes }}</ref> trong đó ông nêu ra và chứng minh [[định lý Cayley-Hamilton]].<ref name=":1"/>

Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng '''A''' = [''a''<sub>''i'',''j''</sub>] để biểu diễn một ma trận với ''a''<sub>''i'',''j''</sub> là phần tử ở hàng thứ ''i'' và cột thứ ''j''.<ref name=":1"/>

Quá trình nghiên cứu định thức xuất phát từ một số nguồn khác nhau.<ref>{{Harvard citations |last1=Knobloch |year=1994 |nb=yes }}</ref> Các bài toán [[lý thuyết số|số học]] dẫn [[Gauss]] đi tới liên hệ các hệ số của [[dạng toàn phương]], những đa thức có dạng {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' − 2''y''<sup>2</sup>,}} và [[ánh xạ tuyến tính]] trong không gian ba chiều với ma trận. [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]] đã phát triển xa hơn các khái niệm này, với nhận xét theo cách phát biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán. [[Augustin Cauchy|Cauchy]] là người đầu tiên chứng minh những mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận '''A''' = [''a''<sub>''i'',''j''</sub>]: thay thế lũy thừa ''a''<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup> bằng ''a''<sub>''jk''</sub> trong [[đa thức]]
:<math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;</math>,
với Π ký hiệu tích các hệ số đứng đằng sau. Ông cũng chứng tỏ vào năm 1829 rằng giá trị riêng của các ma trận đối xứng là thực.<ref>{{Harvard citations |last1=Hawkins |year=1975 |nb=yes }}</ref> [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]] nghiên cứu "định thức hàm"—mà về sau trở thành định thức Jacobi như cách gọi của Sylvester—nó được ứng dụng để nghiên cứu các biến đổi hình học ở mức cục bộ (hay [[vô cùng bé]]); bài báo ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten'' của [[Leopold Kronecker|Kronecker]] <ref>{{Harvard citations |last1=Kronecker |editor1-last=Hensel |year=1897 |nb=yes }}</ref> và ''Zur Determinantentheorie'' của [[Karl Weierstrass|Weierstrass]],<ref>{{Harvard citations |last1=Weierstrass |year=1915 |volume=3 |loc=pp. 271–286 |nb=yes }}</ref> cả hai đều được công bố vào năm 1903, lần đầu tiên đã coi định thức theo cách tiên đề hóa, ngược lại so với cách tiếp cận cụ thể ở những lần trước đó như trong công thức của Cauchy.

Nhiều định lý ban đầu chỉ phát biểu cho các ma trận nhỏ, ví như định lý Cayley–Hamilton được chứng minh cho ma trận 2×2 như Cayley chỉ ra trong luận án của mình, và bởi [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] cho ma trận 4×4. [[Georg Frobenius|Frobenius]], dựa trên các [[dạng song tuyến tính]], đã tổng quát định lý sang mọi kích thước (1898). Cũng vào cuối thế kỷ 19 [[phương pháp khủ Gauss–Jordan]] (tổng quát hóa cho trường hợp đặc biệt đó là [[phép khử Gauss]]) do nhà trắc địa [[Wilhelm Jordan (nhà trắc địa)|Wilhelm Jordan]] nêu ra. Trong đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới vai trò trung tâm trong đại số tuyến tính,<ref>{{Harvard citations |last1=Bôcher |year=2004 |nb=yes }}</ref> một phần nhờ ứng dụng của nó trong phân loại hệ thống [[số siêu phức]] trong thế kỷ trước.

Sự khởi đầu của [[cơ học ma trận]] do các nhà vật lý [[Werner Heisenberg|Heisenberg]], [[Max Born|Born]] và [[Pascual Jordan|Jordan]] nêu ra đã dẫn tới nghiên cứu về ma trận có vô hạn hàng và cột.<ref>{{Harvard citations |last1=Mehra |last2=Rechenberg |year=1987 |nb=yes }}</ref> Later, [[John von Neumann|von Neumann]] đã thiết lập lên [[phát biểu toán học của cơ học lượng tử]], bằng cách phát triển xa hơn các khái niệm của [[giải tích hàm]] như [[biến đổi tuyến tính|toán tử tuyến tính]] trong [[không gian Hilbert]], mà, nói sơ lược, tương ứng với [[không gian Euclide]], nhưng có vô hạn hướng độc lập.

==Ký hiệu==

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông:

:<math> \mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix}.
</math>
Một cách ký hiệu khác là sử dụng dấu ngoặc đơn lớn thay cho dấu ngoặc vuông:

:<math display="block"> \mathbf{A} = 
 \left(\begin{array}{rrrr}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{array} \right).
</math>

Ký hiệu cụ thể cho ma trận rất đa dạng, với một số xu hướng viết phổ biến cho nó. Ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái viết hoa (như '''A''' trong ví dụ trên), trong khi với chữ cái viết thường có hai chỉ số viết dưới (ví dụ ''a''<sub>11</sub>, hay ''a''<sub>1,1</sub>) biểu diễn cho phần tử của ma trận. Ngoài cách sử dụng ký hiệu chữ viết hoa cho ma trận, nhiều tác giả sử dụng kiểu viết nhấn mạnh cho từ, mà phổ biến là cách viết đậm (không nghiêng), để phân biệt ma trận với những đối tượng toán học khác.  Một cách ký hiệu khác là sử dụng cách viết hai đường gạch dưới chân của từ ký hiệu, mà có hoặc không có cách viết đậm, (ví dụ <math>\underline{\underline{A}}</math>).

Phần tử trong hàng thứ ''i'' và cột thứ ''j'' của ma trận '''A''' đôi khi được viết thành ''i'',''j'', (''i'',''j''), hoặc phần tử thứ (''i'',''j'') của ma trận, và cách viết hay gặp nhất đó là ''a''<sub>''i'',''j''</sub>, hay ''a''<sub>''ij''</sub>. Cách ký hiệu khác cho phần tử của ma trận là ''A''[''i,j''] hay ''A''<sub>''i,j''</sub>. Ví dụ, phần tử (1,3) trong ma trận '''A''' là 5 (cũng được viết là ''a''<sub>13</sub>, ''a''<sub>1,3</sub>, ''A''[''1,3''] hoặc ''A''<sub>''1,3''</sub>):

:<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\ 
    -2 & 0 & 11 & 8 \\
    19 & 1 & -3 & 12
  \end{bmatrix}</math>

Thỉnh thoảng, các phần tử của ma trận có thể được xác định theo một công thức như ''a''<sub>''i'',''j''</sub> = ''f''(''i'', ''j''). Ví dụ, mỗi phần tử của ma trận '''A''' dưới đây được xác định bằng ''a''<sub>''ij''</sub> = ''i'' − ''j''. 
:<math>\mathbf A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 & -3\\
1 & 0 & -1 & -2\\
2 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}</math>
Trong trường hợp này, chính ma trận được xác định theo công thức đó, với cách viết trong dấu ngoặc vuông hoặc ngoặc đơn mở rộng. Ví dụ, ma trận ở trên được ký hiệu là '''A''' = [''i''-''j''], hoặc '''A''' = ((''i''-''j'')). Nếu ma trận có kích thước ''m'' × ''n'', công thức đề cập ở trên ''f''(''i'', ''j'') là đúng cho bất kỳ ''i'' = 1,..., ''m'' và bất kỳ ''j'' = 1,..., ''n''. Có thể viết tách biệt kích thước của ma trận, hoặc sử dụng cách viết ''m'' × ''n'' như là chỉ số dưới. Ví dụ, ma trận '''A''' ở trên bằng 3 × 4 và có thể viết ký hiệu là '''A''' = [''i'' − ''j''] (''i'' = 1, 2, 3; ''j'' = 1,..., 4), hay '''A''' = [''i'' − ''j'']<sub>''3''×''4''</sub>.

Một số ngôn ngữ lập trình sử dụng cách viết những mảng có hai chỉ số (hay mảng của mảng) để biểu diễn ma trận ''m''-×-''n''. Một số ngôn ngữ lập trình bắt đầu ma trận bằng cách đánh số chỉ số của mảng tại 0, như trong trường hợp mảng ''m''-×-''n'' được đánh số bằng {{nowrap|0 ≤ ''i'' ≤ ''m'' − 1}} và {{nowrap|0 ≤ ''j'' ≤ ''n'' − 1}}.<ref>{{Harvard citations |last1=Oualline |year=2003 |loc=Ch. 5| nb=yes }}</ref> Bài viết này tuân theo cách quy ước thường gặp trong toán học với chỉ số bắt đầu bằng 1.

Tập hợp mọi ma trận dạng ''m''-×-''n'' ký hiệu là 𝕄(''m'', ''n'').

==Các phép toán cơ bản==
{{external media | width = 210px | align = right | video1 = [http://ed.ted.com/lessons/how-to-organize-add-and-multiply-matrices-bill-shillito How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito], TED ED<ref name="Ted">{{chú thích web | title =How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito | work = | publisher =TED ED | date = | url =http://ed.ted.com/lessons/how-to-organize-add-and-multiply-matrices-bill-shillito | accessdate =ngày 3 tháng 5 năm 2015 }}</ref> }}
Có một số phép toán cơ bản tác dụng lên ma trận, bao gồm ''cộng ma trận'', ''nhân một số với ma trận'', ''chuyển vị'', ''nhân hai ma trận'', ''phép toán hàng'', và ''ma trận con''.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.2.1 (addition), Definition I.2.4 (scalar multiplication), and Definition I.2.33 (transpose) }}</ref>

===Phép cộng, nhân một số với ma trận, và ma trận chuyển vị===
{{chính|Phép cộng ma trận|Nhân vô hướng|Ma trận chuyển vị}}

{| class="wikitable"
|-
! Phép toán
! Định nghĩa
! Ví dụ
|-
| Cộng hai ma trận
| ''Tổng'' '''A'''+'''B''' của hai ma trận cùng kích thước ''m''-x-''n'' '''A''' và '''B''' được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận:
:('''A''' + '''B''')<sub>''i'',''j''</sub> = '''A'''<sub>''i'',''j''</sub> + '''B'''<sub>''i'',''j''</sub>, với 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' và 1 ≤ ''j'' ≤ ''n''.
|
<math>

\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 5  \\
7 & 5 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 & 1+5 \\
1+7 & 0+5 & 0+0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 6 \\
8 & 5 & 0
\end{bmatrix}
</math>
|-
| [[Phép nhân một số cho ma trận|Nhân (vô hướng) một số với ma trận]]
| Tích ''c'''''A''' của số ''c'' (cũng được gọi là [[vô hướng (toán học)|vô hướng]] trong [[đại số trừu tượng]]) với ma trận '''A''' được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của '''A''' với ''c'':
:{{nowrap begin}}(''c'''''A''')<sub>''i'',''j''</sub> = ''c'' • '''A'''<sub>''i'',''j''</sub>.{{nowrap end}}
Phép toán này được gọi là ''nhân vô hướng'', nhưng không nên nhầm lẫn với khái niệm “[[tích vô hướng]]” hay “tích trong”.
| <math>2 \cdot

\begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\
2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{bmatrix}
</math>
|-
| Chuyển vị
| ''Chuyển vị'' của ma trận ''m''-x-''n'' '''A''' là ma trận ''n''-x-''m'' '''A'''<sup>T</sup> (cũng còn ký hiệu là '''A'''<sup>tr</sup> hay <sup>t</sup>'''A''') tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng:
:{{nowrap begin}}('''A'''<sup>T</sup>)<sub>''i'',''j''</sub> = '''A'''<sub>''j'',''i''</sub>.{{nowrap end}}
| <math>

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -6 & 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & -6 \\
3 & 7
\end{bmatrix}
</math>
|}

Những tính chất tương tự đối với số thực có thể mở rộng ra đối với phép toán ma trận. Cộng hai ma trận có tính chất [[giao hoán]], hay tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính:

:'''A'''&nbsp;+&nbsp;'''B'''&nbsp;=&nbsp;'''B'''&nbsp;+&nbsp;'''A'''.<ref name="Harvard">{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem I.2.6 }}</ref>
:('''A'''&nbsp;+&nbsp;'''B''')&nbsp;+&nbsp;'''C'''&nbsp;=&nbsp;'''A'''&nbsp;+&nbsp;('''B'''&nbsp;+&nbsp;'''C''')<ref name="Harvard"/>

Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận.
:(''c'''''A''')<sup>T</sup> = ''c''('''A'''<sup>T</sup>)
:('''A'''&nbsp;+&nbsp;'''B''')<sup>T</sup>&nbsp;=&nbsp;'''A'''<sup>T</sup>&nbsp;+&nbsp;'''B'''<sup>T</sup>
:('''A'''<sup>T</sup>)<sup>T</sup>&nbsp;=&nbsp;'''A'''
:('''AB''')<sup>T</sup>='''B'''<sup>T</sup>'''A'''<sup>T</sup>

===Nhân ma trận===
[[Tập tin:Matrix multiplication diagram 2.svg|phải|200px|nhỏ|Minh họa tích ma trận '''AB''' của hai ma trận '''A''' và '''B'''.]]
''Phép nhân'' hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải. Nếu '''A''' là một ma trận ''m''-x-''n'' và '''B''' là một ma trận ''n''-x-''p'', thì ''ma trận tích'' '''AB''' là ma trận ''m''-x-''p'' với các phần tử được xác định theo [[tích vô hướng]] của hàng tương ứng trong '''A''' với cột tương ứng trong '''B''':

:<cite id="matrix_product"><math> [\mathbf{AB}]_{i,j} = A_{i,1}B_{1,j} + A_{i,2}B_{2,j} + \cdots + A_{i,n}B_{n,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}</math></cite>,

với 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' và 1 ≤ ''j'' ≤ ''p''.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.2.20 }}</ref> Ví dụ, phần tử gạch chân bên dưới 2340 trong tích được xác định bằng {{math|(2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) {{=}} 2340:}}

:<math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\underline{2} & \underline 3 & \underline 4 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & \underline{1000} \\
1 & \underline{100} \\
0 & \underline{10} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
3 & \underline{2340} \\
0 & 1000 \\
\end{bmatrix}.
\end{align}
</math>

Phép nhân ma trận thỏa mãn quy tắc ('''AB''')'''C''' = '''A'''('''BC''') ([[kết hợp|tính chất kết hợp]]), và ('''A'''+'''B''')'''C''' = '''AC'''+'''BC''' cũng như '''C'''('''A'''+'''B''') = '''CA'''+'''CB''' ([[tính chất phân phối|luật phân phối]] trái và phải), khi kích thước của các ma trận tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêu cầu của tích hai ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem I.2.24 }}</ref> Tích '''AB''' có thể xác định trong khi '''BA''' không nhất thiết phải xác định, tức là nếu '''A''' và '''B''' lần lượt có số chiều ''m''-x-''n'' và ''n''-x-''k'', và {{nowrap|''m'' ≠ ''k''.}} Thậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì chúng không nhất thiết phải bằng nhau, tức là 
:'''AB''' ≠ '''BA''',
hay <cite id="non_commutative">phép nhân ma trận không có tính [[giao hoán]],</cite> một đặc điểm khác với các trường số (hữu tỉ, thực, hay phức) mà tích của các số không phụ thuộc vào thứ tự của các số thực hiện trong phép nhân. Ví dụ về nhân hai ma trận không có tính giao hoán:
:<math>\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 3\\
\end{bmatrix},
</math>
trong khi
:<math>\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}
.</math>

Bên cạnh phép nhân ma trận thông thường như đã miêu tả, có một số phép toán tác dụng lên ma trận ít gặp mà có thể coi như là phép nhân ma trận, ví dụ như [[tích Hadamard (ma trận)|tích Hadamard]] và [[tích Kronecker]].<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |loc=Ch. 4 and 5 |nb=yes }}</ref> Chúng xuất hiện khi giải phương trình ma trận, như [[phương trình Sylvester]].

=== Phép toán hàng===
{{chính|Phép toán hàng}}
Có ba loại phép toán hàng:
# cộng hàng, tức là cộng các hàng lại với nhau.
# nhân hàng, tức là nhân mọi phần tử trong hàng với một hằng số khác 0;
# chuyển hàng, thay đổi vị trí hai hàng cho nhau trong ma trận;
Các phép toán này được áp dụng trong một số lĩnh vực, bao gồm giải [[phương trình tuyến tính]] và tìm ma trận ngược.

===Ma trận con===
'''Ma trận con''' của một ma trận nhận được bằng cách xóa bất kỳ các hàng và / hoặc các cột.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=16}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=220}}</ref><ref name="Protter 1970 869">{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=869}}</ref> Ma trận con được ký hiệu là <big>M<sub>'''ij'''</sub></big> với i là dòng bị xóa, j là cột bị xóa. Ví dụ, từ ma trận 3 x 4, chúng ta có thể tạo ra ma trận con 2x3 bằng cách xóa hàng 3 và cột 2:

:<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    1 & \color{red}{2} & 3 & 4 \\ 
    5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\
    \color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{red}{12}
  \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 4 \\ 
    5 & 7 & 8 
  \end{bmatrix}.
</math>

[[Định thức con]] và phần phụ đại số của ma trận tìm được bằng cách tính [[định thức]] của những ma trận con nhất định.<ref name="Protter 1970 869"/><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=241,244}}</ref>

'''Ma trận con chính''' là một ma trận con vuông thu được bằng cách xóa đi một số hàng và cột. Mỗi tác giả có một cách định nghĩa khác nhau. Theo một số tác giả, ma trận con chính là một ma trận con mà tập chỉ số hàng còn lại bằng tập chỉ số cột còn lại.<ref>{{citation|title=Matrices and Linear Algebra|series=Dover Books on Mathematics|first1=Hans|last1=Schneider|first2=George Phillip|last2=Barker|publisher=Courier Dover Corporation|year=2012|isbn=9780486139302|page=251|url=https://books.google.com/books?id=9vjBAgAAQBAJ&pg=PA251}}.</ref><ref>{{citation|title=Theory of Matrices|series=Dover books on advanced mathematics|first=Sam|last=Perlis|publisher=Courier Dover Corporation|year=1991|isbn=9780486668109|page=103|url=https://books.google.com/books?id=5_sxtcnvLhoC&pg=PA103}}.</ref> Một số tác giả khác định nghĩa ma trận con chính là một trong những ma trận con có ''k'' hàng và cột đầu tiên, đối với một số giá trị ''k'', là những ma trận còn lại sau khi xóa hàng hoặc/và cột;<ref>{{citation|title=Elementary Linear Algebra|first=Howard|last=Anton|edition=10th|publisher=John Wiley & Sons|year=2010|isbn=9780470458211|year=414|url=https://books.google.com/books?id=YmcQJoFyZ5gC&pg=PA414}}.</ref> loại ma trận con này còn được gọi là '''ma trận con chính trước''' (leading principal submatrix).<ref>{{citation|title=Matrix Analysis|first1=Roger A.|last1=Horn|first2=Charles R.|last2=Johnson|edition=2nd|publisher=Cambridge University Press|year=2012|isbn=9780521839402|page=17|url=https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA17}}.</ref>

==Phương trình tuyến tính==
{{chính|Phương trình tuyến tính|Hệ phương trình tuyến tính}}
Ma trận được dùng để viết gọn và nghiên cứu phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, nếu '''A''' là một ma trận ''m''x''n'', '''x''' là vectơ cột (ma trận ''n''×1) của ''n'' biến ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, và '''b''' là một vectơ cột ''m''×1, thì phương trình ma trận
:'''Ax''' = '''b'''
là tương đương với hệ phương trình tuyến tính
:''A''<sub>1,1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''A''<sub>1,2</sub>''x''<sub>2</sub> +... + ''A''<sub>1,''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>1</sub>
:...
:''A''<sub>''m'',1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''A''<sub>''m'',2</sub>''x''<sub>2</sub> +... + ''A''<sub>''m'',''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''m''</sub>.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=I.2.21 and 22 }}</ref>

==Biến đổi tuyến tính==
{{chính|Biến đổi tuyến tính|Ma trận của biến đổi tuyến tính}}
[[Tập tin:Area parallellogram as determinant.svg|nhỏ|phải|Các vectơ biểu diễn bởi một ma trận vuông 2x2 tương ứng với các cạnh của một hình vuông đơn vị biến đổi thành một hình bình hành.]]
Ma trận và phép nhân ma trận cho thấy những đặc điểm cơ bản của chúng khi liên hệ với ''biến đổi tuyến tính'', cũng còn gọi là ''ánh xạ tuyến tính''. <cite id="linear_maps">Một ma trận thực ''m''x''n'' '''A''' đại diện cho phép biến đổi tuyến tính '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> ánh xạ mỗi vectơ '''x''' trong '''R'''<sup>''n''</sup> vào tích (hay ma trận) '''Ax''', mà là một vectơ trong '''R'''<sup>''m''</sup>. Ngược lại, mỗi biến đổi tuyến tính ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> đại diện bởi một ma trận duy nhất '''A''' ''m''x''n'': một cách tường minh, phần tử {{nowrap|(''i'', ''j'')}} của '''A''' là tọa độ thứ ''i'' của ''f''('''e'''<sub>''j''</sub>), với {{nowrap begin}}'''e'''<sub>''j''</sub> = (0,...,0,1,0,...,0){{nowrap end}} là [[vectơ đơn vị]] với một trong vị trí thứ ''j'' và 0 ở những vị trí khác.</cite> Ma trận '''A''' được nói là biểu diễn cho ánh xạ tuyến tính ''f'', và '''A''' được gọi là ''ma trận biến đổi'' của ''f''.

Ví dụ, ma trận vuông 2×2

:<math>
\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\,
</math>

có thể coi như là biến đổi của [[hình vuông đơn vị]] thành một [[hình bình hành]] với các đỉnh của nó nằm tại {{nowrap|(0, 0)}}, {{nowrap|(''a'', ''b'')}}, {{nowrap|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}, và {{nowrap|(''c'', ''d'')}}. Hình bình hành trong ảnh bên cạnh thu được bằng cách nhân '''A''' với mỗi vectơ cột <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} </math> và <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>. Những vectơ này xác định lên đỉnh của hình vuông đơn vị sau phép biến đổi.

Bảng sau liệt kê một số ma trận thực 2 × 2 găn với ánh xạ tuyến tính của '''R'''<sup>2</sup>. Hình màu lam ban đầu được ánh xạ thành hình màu lục. Điểm gốc (0,0) được đánh dấu là điểm màu đen.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
| Phép trượt ngang (Horizontal shear) với m=1.25.
| Phép lật theo phương ngang (Horizontal flip)
| Phép nén (Squeeze mapping) với r=3/2
| Phép phóng tỉ lệ (scale) với tỉ lệ 3/2
|<cite id="rotation_matrix">Phép [[Ma trận quay|quay]] một góc π/6<sup>R</sup> = 30°</cite>
|-
| <math>\begin{bmatrix}
1 & 1.25  \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
-1 & 0  \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 2/3 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 3/2 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix}</math>
|-
| width="20%" | [[Tập tin:VerticalShear m=1.25.svg|175px]]
| width="20%" | [[Tập tin:Flip map.svg|150px]]
| width="20%" | [[Tập tin:Squeeze r=1.5.svg|150px]]
| width="20%" | [[Tập tin:Scaling by 1.5.svg|125px]]
| width="20%" | [[Tập tin:Rotation by pi over 6.svg|125px]]
|}

Đặt [[song ánh|tương ứng 1-1]] giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, phép nhân ma trận tương ứng với [[hàm hợp|phép hợp]] các ánh xạ:<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.2 }}</ref> nếu một ma trận ''k''x''m'' '''B''' biểu diễn cho một ánh xạ tuyến tính khác ''g'': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''k''</sup>, thì hợp của {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} biểu diễn bằng '''BA''' vì
:(''g'' ∘ ''f'')('''x''') = ''g''(''f''('''x''')) = ''g''('''Ax''') = '''B'''('''Ax''') = ('''BA''')'''x'''.
Phương trình cuối cùng là hệ quả từ tính kết hợp của phép nhân ma trận.

[[Hạng của ma trận]] '''A''' là số lớn nhất các vectơ hàng [[độc lập tuyến tính]] của ma trận, mà cũng bằng số lớn nhất các vectơ cột độc lập tuyến tính của nó.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition II.3.3 }}</ref> Tương đương với hạng của ma trận là [[chiều Hamel]] của [[ảnh (toán học)|ảnh]] của ánh xạ tuyến tính biểu diễn bởi '''A'''.<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.1 }}</ref> [[Định lý hạng và số chiều của hạch]] nói rằng số chiều của [[hạch (ma trận)|hạch]] (kernel) ma trận cộng với hạng của nó bằng số cột của ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem II.3.22 }}</ref>

==Ma trận vuông==

[[Ma trận vuông]] là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận ''n''x''n'' còn gọi là ma trận vuông bậc ''n.'' Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng bậc đều thực hiện được phép cộng và nhân với nhau. 
Các phần tử ''a''<sub>''ii''</sub> tạo thành [[đường chéo chính]] của ma trận vuông. Chúng nằm trên một đoạn thẳng tưởng tượng bắt đầu từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của ma trận.

=== Các loại ma trận đặc biệt  ===
:{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Tên!! Ví dụ với ''n'' = 3
|-
| Ma trận chéo || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| Ma trận tam giác dưới || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| Ma trận tam giác trên || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|}

==== Ma trận tam giác ====
Nếu mọi phần tử của '''A''' ở bên dưới đường chéo chính bằng 0, thì '''A''' được gọi là ''[[ma trận tam giác]] trên''. Tương tự, nếu mọi phần tử của ''A'' ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì '''A''' được gọi là ''ma trận tam giác dưới''. Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì '''A''' được gọi là [[ma trận chéo]].

==== Ma trận đơn vị ====
[[Ma trận đơn vị]] '''I'''<sub>''n''</sub> có số chiều ''n'' là một ma trận ''n''x''n'' trong đó mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả những phần tử khác đều bằng 0, ví dụ
:<math>
I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{bmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 1 
      \end{bmatrix}
,\ \cdots,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
         1 & 0 & \cdots & 0 \\
         0 & 1 & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & 1
      \end{bmatrix}
</math>
Nó là một ma trận vuông bậc ''n'', và cũng là trường hợp đặc biệt của ma trận chéo. Nó là ma trận đơn vị bởi vì khi thực hiện nhân một ma trận với nó thì vẫn thu được ma trận đó: 
:{{nowrap begin}}'''AI'''<sub>''n''</sub> = '''I'''<sub>''m''</sub>'''A''' = '''A'''{{nowrap end}} với ma trận '''A''' bất kỳ ''m''x''n''.

====Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch====
Ma trận vuông '''A''' bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là {{nowrap begin}}'''A''' = '''A'''<sup>T</sup>{{nowrap end}}, là [[ma trận đối xứng]]. Nếu '''A''' là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó, i.e., {{nowrap begin}}'''A''' = −'''A'''<sup>T</sup>,{{nowrap end}} thì '''A''' được gọi là [[ma trận đối xứng lệch]] (skew-symmetric matrix). Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thường được thay bằng khái niệm [[ma trận Hermite]], mà thỏa mãn '''A'''<sup>∗</sup> = '''A''', với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, tức là lấy chuyển vị của '''A''' sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận chuyển vị.

Theo [[định lý phổ]] (spectral theorem), ma trận đối xứng phần tử thực và ma trận Hermite phần tử phức có một [[vectơ riêng|cơ sở riêng]]; nghĩa là mỗi vectơ có thể biểu diễn thành [[tổ hợp tuyến tính]] của các vectơ riêng. Trong cả hai trường hợp, mọi trị riêng của ma trận đều có giá trị thực.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.6 }}</ref> Định lý này có thể tổng quát hóa cho trường hợp ma trận vô hạn chiều, xem [[#Ma trận vô hạn|bên dưới]].

====Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của nó====
Ma trận vuông '''A''' gọi là ''[[ma trận khả nghịch|khả nghịch]]'' hay ''không suy biến'' nếu tồn tại một ma trận '''B''' sao cho
: '''AB''' = '''BA''' = '''I'''<sub>''n''</sub>.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.2.28 }}</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.5.13 }}</ref>
Nếu '''B''' tồn tại, thì nó là duy nhất và được gọi là ''[[ma trận nghịch đảo]]'' của '''A''', ký hiệu bằng '''A'''<sup>−1</sup>.

Ma trận nghịch đảo có những tính chất sau:

:('''A'''<sup>-1</sup>)<sup>-1</sup> = '''A'''
:('''AB''')<sup>-1</sup> = '''B'''<sup>-1</sup>'''A'''<sup>-1</sup>
:('''A'''<sup>T</sup>)<sup>-1</sup> = ('''A'''<sup>-1</sup>)<sup>T</sup>

====Ma trận xác định====
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Ma trận xác định dương!! Ma trận không xác định
|-
| <math> \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & 1 \\
     \end{bmatrix} </math>
| <math> \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & -1/4 
     \end{bmatrix} </math>
|-
| ''Q''(''x'',''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> 
| ''Q''(''x'',''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> − 1/4 ''y''<sup>2</sup>
|-
| [[Tập tin:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|150px]] <br>Các điểm sao cho ''Q''(''x'',''y'')=1 <br> ([[Elíp]]).
| [[Tập tin:Hyperbola2 SVG.svg|150px]] <br> Các điểm sao cho ''Q''(''x'',''y'')=1 <br> ([[Hyperbol]]).
|}
Ma trận đối xứng ''n''×''n'' được gọi là ''[[ma trận xác định dương|xác định dương]]'' (tương ứng xác định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ khác 0 '''x'''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> [[dạng toàn phương]] xác định bởi
:<cite id="quadratic_forms">''Q''('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ax'''</cite>
chỉ nhận các giá trị dương (tương ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá trị âm và giá trị dương).<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> Nếu dạng toàn phương chỉ nhận giá trị không âm (tương ứng chỉ nhận giá trị không dương), ma trận đối xứng được gọi là bán xác định dương (tương ứng bán xác định âm); và ma trận không xác định chính xác khi nó không là ma trận bán xác định dương hoặc ma trận bán xác định âm.

Ma trận đối xứng là xác định dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương, hay ma trận là bán xác định dương và khả nghịch.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 7.2.1 }}</ref> Bảng bên phải chỉ ra hai khả năng cho ma trận 2x2.

Ma trận xác định '''A''' cho phép thu được [[dạng song tuyến tính]] khi nó kết hợp hai vectơ khác nhau:
:''B''<sub>'''A'''</sub> ('''x''', '''y''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ay'''.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Example 4.0.6, p. 169 }}</ref>

==== Ma trận trực giao ====
''Ma trận trực giao'' là ma trận vuông với các phần tử [[số thực|thực]] sao cho các cột và hàng là những [[vectơ đơn vị]] [[trực giao]] (nghĩa là vectơ [[trực chuẩn]]). Hay nói tương đương, ma trận ''A'' trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó:
:<math>A^\mathrm{T}=A^{-1}, \,</math>
mà
:<math>A^\mathrm{T} A = A A^\mathrm{T} = I, \,</math>
với ''I'' là ma trận đơn vị.

Ma trận trực giao ''A'' cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa {{nowrap|1=''A''<sup>&minus;1</sup> = ''A''<sup>T</sup>}}), [[ma trận unita|unita]] ({{nowrap|1=''A''<sup>&minus;1</sup> = ''A''*}}), và [[ma trận chuẩn tắc|chuẩn tắc]] ({{nowrap|1=''A''*''A'' = ''AA''*}}). [[Định thức]] của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng +1 hoặc −1. ''Ma trận trực giao đặc biệt'' là ma trận có định thức bằng +1. Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao đặc biệt thuần túy chính là phép quay, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng -1 thuần túy là phép phản xạ hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay.
Sự tương tự đối với ma trận phức của ma trận trực giao là [[ma trận unita]].

===Các tính toán chủ yếu===

====Vết====
[[Vết của ma trận]] tr('''A''') của một ma trận vuông '''A''' là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó. Trong khi phép nhân ma trận không có tính giao hoán, thì vết của tích hai ma trận là độc lập với thứ tự nhân của hai ma trận: 
: tr('''AB''') = tr('''BA'''). 
Điều này có thể rút ngay ra được từ định nghĩa nhân hai ma trận:
:<math>\scriptstyle\operatorname{tr}(\mathsf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \operatorname{tr}(\mathsf{BA}).</math>
Ngoài ra, vết của ma trận bằng vết của ma trận chuyển vị, hay
:{{nowrap begin}}tr('''A''') = tr('''A'''<sup>T</sup>){{nowrap end}}.

====Định thức====
{{chính|Định thức}}
[[Tập tin:Determinant example.svg|nhỏ|300px|phải|Biến đổi tuyến tính trên '''R'''<sup>2</sup> cho bởi ma trận trong ngoặc. Định thức của ma trận này bằng −1, và ý nghĩa hình học của phép biến đổi tuyến tính này đó là diện tích của hình bình hành màu lục ở bên phải vẫn bằng 1, nhưng ánh xạ đã đảo hướng nó, do nó chuyển hướng theo chiều ngược kim đồng hồ của vectơ thành theo chiều kim đồng hồ.]]

''Định thức'' det('''A''') hay |'''A'''| của ma trận vuông '''A''' là một số chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này. Ma trận là khả nghịch [[nếu và chỉ nếu]] định thức của nó khác 0. [[Giá trị tuyệt đối]] của định thức ma trận trực giao bằng diện tích (trong '''R'''<sup>2</sup>) hoặc thể tích (trong '''R'''<sup>3</sup>) của ảnh của hình vuông đơn vị (hay hình lập phương đơn vị), trong khi dấu của nó tương ứng với hướng của ánh xạ tuyến tính tương ứng: định thức là dương nếu và chỉ nếu hướng được bảo toàn.

Định thức của ma trận 2 x 2 cho bởi công thức
:<math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math>
Định thức của ma trận 3 x 3 bao gồm 6 số hạng (hay [[quy tắc Sarrus]]). [[Công thức Leibniz cho định thức|Công thức Leibniz]] tổng quát hai công thức này cho mọi số chiều của ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.2.1 }}</ref>

Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức ma trận: 
:{{nowrap begin}}det('''AB''') = det('''A''') • det('''B''').<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>{{nowrap end}}
Khi cộng bội một số lần của một hàng bất kỳ vào một hàng khác, hoặc cộng bội một số lần của một cột bất kỳ vào một cột khác, sẽ không làm thay đổi định thức. Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tới định thức bằng cách nhân nó với −1.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kỳ có thể chuyển thành một ma trận tam giác dưới (hoặc trên), mà đối với các ma trận tam giác, định thức của nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính; phương pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kỳ.

Cuối cùng, [[khai triển Laplace]] biểu diễn định thức trong số hạng của các [[phần phụ đại số]], nghĩa là định thức của các ma trận nhỏ hơn.<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> Khai triển này có thể dùng để đưa ra định nghĩa theo phương pháp đệ quy đối với định thức (mà bắt đầu bằng định thức của ma trận 1 x 1, mà nó có một phần tử duy nhất, hay thậm chí định thức của ma trận 0 x 0, định nghĩa bằng 1), mà có thể coi như tương đương với công thức Leibniz. Ứng dụng của định thức bao gồm việc giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng [[quy tắc Cramer]], với thương của hai định thức của hai ma trận liên quan bằng giá trị của biến cần tìm trong hệ phương trình.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref> Khai triển Laplace cho ma trận bất kỳ như sau:

:<math>|A|=\sum_{j=1}^n a_{i,j}|C_{i,j}|=\sum_{i=1}^n a_{i,j}|C_{i,j}|</math>    
::với <math>|C_{i,j}|=(-1)^{(i+j)}|M_{i,j}|</math>

Các tính chất của định thức:

:|'''A'''| = |'''A'''<sup>T</sup>|
: Đảo vị trí 2 dòng của ma trận sẽ làm định thức của ma trận đổi dấu
: Nhân một dòng của ma trận với n sẽ làm giá trị định thức tăng lên n lần
: Thay thế một dòng của ma trận bằng cách nhân một dòng khác của ma trận với n rồi cộng với dòng đó không làm thay đổi giá trị định thức
: Nếu một dòng của ma trận là tích của một dòng khác với n thì định thức của ma trận bằng 0

====Ma trận nghịch đảo====
Ma trận nghịch đảo '''A'''<sup>−1</sup> chỉ tồn tại khi và chỉ khi |'''A'''| ǂ 0. Công thức tính ma trận nghịch đảo như sau:

:<math>A^{-1}=\frac 1{|A|}adj A</math>

:: với <math>adj A = \begin{bmatrix}
         |C_{1,1}| & |C_{2,1}| & \cdots & |C_{n,1}| \\
         |C_{1,2}| & |C_{2,2}| & \cdots & |C_{n,2}| \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         |C_{1,n}| & |C_{2,n}| & \cdots & |C_{n,n}|
      \end{bmatrix}</math>

====Vectơ riêng và trị riêng====
{{chính|Trị riêng, vectơ riêng và không gian riêng|l1=Giá trị riêng và vectơ riêng}}
Một số λ và một vectơ khác 0 '''v''' thỏa mãn
:'''Av''' = λ'''v'''
được gọi lần lượt là ''giá trị riêng'' và ''vectơ riêng'' của '''A'''.<ref group="nb">''Eigen'' có nghĩa là "riêng" trong [[tiếng Đức]] và [[tiếng Hà Lan]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> Số λ là một trị riêng của một ma trận ''n''×''n'' '''A''' nếu và chỉ nếu '''A'''−λ'''I'''<sub>''n''</sub> là không khả nghịch, mà tương đương với
:<math>\det(\mathsf{A}-\lambda \mathsf{I}) = 0.\ </math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9 }}</ref>
Đa thức ''p''<sub>'''A'''</sub> trong biến vô định (indeterminate variable) ''X'' cho bằng cách khai triển định thức det(''X'''''I'''<sub>''n''</sub>−'''A''') được gọi là [[đa thức đặc trưng]] của '''A'''. Nó là một [[đa thức lồi]] (monic polynomial) có [[bậc của đa thức|bậc]] ''n''. Do vậy phương trình đa thức ''p''<sub>'''A'''</sub>(λ)&nbsp;=&nbsp;0 có nhiều nhất ''n'' nghiệm khác nhau, hay là các giá trị riêng của ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> Chúng có thể nhận giá trị phức ngay cả khi các phần tử trong '''A''' là thực. Theo [[định lý Cayley–Hamilton]], {{nowrap begin}}''p''<sub>'''A'''</sub>('''A''') = '''0'''{{nowrap end}}, tức là, kết quả của sự thay thế chính ma trận vào đa thức đặc trưng của chính nó sẽ thu được [[ma trận rỗng]].

==Khía cạnh tính toán==
Tính toán các tính chất liên quan tới ma trận có thể dùng nhiều kỹ thuật khác nhau. Nhiều vấn đề được giải quyết bằng cả những thuật toán trực tiếp hoặc bằng phương pháp lặp. Ví dụ, có thể tìm vectơ riêng của một ma trận vuông bằng cách tính [[dãy (toán học)|dãy]] các vectơ '''x'''<sub>''n''</sub> [[giới hạn của dãy|hội tụ]] về một vectơ riêng khi ''n'' tiến tới [[vô tận]].<ref>{{Harvard citations |last1=Householder |year=1975 |loc=Ch. 7 |nb=yes }}</ref>

Để có thể chọn thuật toán thích hợp hơn cho mỗi vấn đề cụ thể, điều quan trọng là xác định được cả tính chính xác và hiệu quả của mọi thuật toán khả dĩ. Phạm vi nghiên cứu những vấn đề này được gọi là đại số tuyến tính bằng số (numerical linear algebra).<ref>{{Harvard citations |last1=Bau III |last2=Trefethen |year=1997 |nb=yes }}</ref> Với những vấn đề về phương pháp tính khác, hai khía cạnh chính đó là độ phức tạp của thuật toán (complexity of algorithm) và sự ổn định bằng số (numerical stability) của chúng.

Xác định độ phức tạp của thuật toán có nghĩa là tìm chặn trên hoặc ước lượng có bao nhiêu thao tác cơ bản như phép cộng và nhân vô hướng cần thiết để thực hiện một số thuật toán, ví dụ như phép nhân hai ma trận. Ví dụ, tính tích của hai ma trận bậc ''n'' x ''n'' sử dụng định nghĩa ở trên cần ''n''<sup>3</sup> phép nhân, do bất kỳ ''n''<sup>2</sup> phần tử của tích, cần có ''n'' phép nhân.  [[Thuật toán Strassen]] tốt hơn thuật toán "thô" này; nó chỉ cần ''n''<sup>2,807</sup> phép nhân.<ref>{{Harvard citations |last1=Golub |last2=Van Loan |year=1996 |nb=yes |loc=Algorithm 1.3.1 }}</ref> Cách tiếp cận đẹp hơn thường kết hợp với những đặc điểm nhất định của thiết bị tính toán.

Trong nhiều vấn đề thực tiễn, chúng ta biết thêm các thông tin về những ma trận tham gia vào quá trình tính toán. Một trường hợp đặc biệt đó là "ma trận thưa" (sparse matrix), tức là phần lớn các phần tử trong ma trận bằng 0. Có những thuật toán được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính '''Ax''' = '''b''' cho những ma trận thưa '''A''', như phương pháp gradien liên hợp (conjugate gradient method).<ref>{{Harvard citations |last1=Golub |last2=Van Loan |year=1996 |nb=yes |loc=Chapters 9 and 10, esp. section 10.2 }}</ref>

Nói một cách sơ lược, một thuật toán được gọi là ổn định bằng số (numerically stable), nếu những độ lệch nhỏ trong giá trị đưa vào không dẫn tới sự thay đổi lớn trong kết quả của chúng. Ví dụ, khi tính nghịch đảo của ma trận thông qua [[công thức Laplace]] (Adj ('''A''') ký hiệu cho [[ma trận phụ hợp]] của '''A''')
:'''A'''<sup>−1</sup> = Adj('''A''') / det('''A''')
có thể dẫn tới sai số lớn do làm tròn nếu định thức của ma trận rất nhỏ. Ma trận chuẩn tắc (norm matrix) được ứng dụng để nắm bắt điều kiện của những vấn đề đại số tuyến tính, như tính ma trận nghịch đảo.<ref>{{Harvard citations |last1=Golub |last2=Van Loan |year=1996 |nb=yes |loc=Chapter 2.3 }}</ref>

Hầu hết các [[ngôn ngữ lập trình|ngôn ngữ máy]] không được thiết kế với những lệnh và thư viện dành cho ma trận, như vào đầu thập niên 1970, một số máy tính để bàn kỹ thuật như [[HP 9830]] có hộp ROM (ROM cartridges) để cho thêm các lệnh BASIC đối với ma trận. Một số ngôn ngữ máy như [[APL (ngôn ngữlập trình)|APL]] được thiết kế để thực hiện các phép toán về ma trận, và nhiều chương trình phần mềm toán học có thể sử dụng để hỗ trợ các tính toán liên quan tới ma trận.<ref>Ví dụ, [[Mathematica]], xem {{Harvard citations |last1=Wolfram |year=2003 |loc=Ch. 3.7 |nb=yes }}</ref>

==Phân tích ma trận==
{{chính|Phân tích ma trận|Ma trận chéo hóa được|Phép khử Gauss|Thuật toán Bareiss}}
Có một số phương pháp để đưa ma trận về những dạng dễ nghiên cứu hơn. Các nhà toán học thường coi chúng là kỹ thuật ''phân tích ma trận'' hoặc  ''nhân tử hóa ma trận''. Họ quan tâm tới những kỹ thuật này vì chúng bảo tồn một số tính chất nhất định của ma trận trong quá trình biến đổi, như định thức, hạng hay nghịch đảo, do đó những đại lượng này có thể dễ dàng tính toán sau khi áp dụng phép biến đổi, hoặc những tính toán ma trận sẽ dễ dàng hơn về mặt thuật toán thực thi đối với một số ma trận đặc biệt.

Phương pháp [[phân tích LU]] ma trận chính là kỹ thuật phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới ('''L''') với một ma trận tam giác trên ('''U''').<ref>{{Harvard citations |last1=Press |last2=Flannery |last3=Teukolsky |year=1992 |nb=yes }}</ref> Khi phương pháp phân tích này được thực hiện, những hệ phương trình tuyến tính có thể giải một cách hữu hiệu hơn bằng những kỹ thuật đơn giản như thay thế tiến và lùi (forward and back substitution). Tương tự, tính nghịch đảo của ma trận tam giác sẽ dễ dàng hơn nhiều so với ma trận tổng quát. ''Phép khử Gauss'' tương tự như một thuật toán; nó biến đổi ma trận bất kỳ thành dạng hàng bậc thang (row echelon form).<ref>{{Harvard citations |last1=Stoer |last2=Bulirsch |year=2002 |nb=yes |loc=Section 4.1 }}</ref> Cả hai phương pháp được tiến hành bằng cách nhân ma trận với những ma trận cơ sở phù hợp, hay những ma trận thu được từ việc hoán vị các cột hoặc hàng cho nhau và cộng thêm một số bội lần một hầng vào hàng khác.  Kỹ thuật phần tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) biểu diễn ma trận bất kỳ '''A''' thành tích của '''UDV'''<sup>∗</sup>, với '''U''' và '''V''' là các ma trận unita và '''D''' là ma trận chéo hóa.

[[Tập tin:Jordan blocks.svg|phải|nhỏ|250px|Ví dụng về ma trận trong dạng chuẩn tắc Jordan. Những khối xám mà được gọi là những khối Jordan.]]
Phân tích ma trận thành ma trận chỉ có các phần tử là các giá trị riêng (eigendecomposition) hay ''chéo hóa'' biểu diễn '''A''' thành tích '''VDV'''<sup>−1</sup>, với '''D''' là ma trận đường chéo và '''V''' là một ma trận khả nghịch phù hợp.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.4 }}</ref>  Nếu '''A''' được viết theo dạng này, nó được gọi là ma trận chéo hóa được (diagonalizable matrix). Tổng quát hơn, và áp dụng đối với mọi ma trận, phép phân tích Jordan biến đổi ma trận thành dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan normal form), để đưa các ma trận về dạng mà chỉ những phần tử khác 0 là các giá trị riêng λ<sub>1</sub> đến λ<sub>n</sub> của '''A''', nằm trên đường chéo chính và có thể có các phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 1 như chỉ ra ở hình bên.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Ch. 3.1, 3.2 }}</ref> Dựa theo kỹ thuật phân tích ma trận theo giá trị riêng, lũy thừa bậc ''n''của '''A''' (tức là thực hiện nhân ma trận '''A''' với chính nó n lần) sẽ được tính toán thông qua
:'''A'''<sup>''n''</sup> = ('''VDV'''<sup>−1</sup>)<sup>''n''</sup> = '''VDV'''<sup>−1</sup>'''VDV'''<sup>−1</sup>...'''VDV'''<sup>−1</sup> = '''VD'''<sup>''n''</sup>'''V'''<sup>−1</sup>
và lũy thừa của ma trận đường chéo được tính trực tiếp khi lấy lũy thừa của các phần tử nằm trên đường chéo chính, mà cách này dễ dàng hơn rất nhiều khi thực hiện từng lần nhân với '''A'''. Phương pháp này còn được ứng dụng để tính lũy thừa ma trận (matrix exponential) ''e''<sup>'''A'''</sup>, do nó xuất hiện thường xuyên trong lúc giải [[phương trình vi phân tuyến tính]], logarit của ma trận (matrix logarithm) và căn bậc hai của ma trận (square root of a matrix).<ref>{{Harvard citations |last1=Arnold |last2=Cooke |year=1992 |nb=yes |loc=Sections 14.5, 7, 8 }}</ref> Để tránh trường hợp sai số lớn khi thay đổi dữ liệu số đầu vào (condition number), các nhà toán học nêu những thuật toán tốt hơn như [[phân tích Schur]] sẽ được ứng dụng.<ref>{{Harvard citations |last1=Bronson |year=1989 |nb=yes |loc=Ch. 15 }}</ref>

==Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa==
Các nhà toán học đã tổng quát hóa ma trận theo một số cách khác nhau. Đại số trừu tượng sử dụng ma trận với các phần tử là những dạng tổng quát hơn như là [[trường (đại số)|trường]] hay thậm chí là [[vành]], trong khi đại số tuyến tính mã hóa các tính chất của ma trận thành khái niệm các ánh xạ tuyến tính. Có thể coi ma trận với vô số hàng và cột. Sự mở rộng khác đó là [[tenxơ]], mà có thể coi như những mảng nhiều chiều chứa các phần tử số, khi nó khác với vectơ ở chỗ vectơ là dãy các số, thì ma trận là mảng hai chiều chứa các số.<ref>{{Harvard citations |last1=Coburn |year=1955 |nb=yes |loc=Ch. V }}</ref> Ma trận với những tính chất đòi hỏi nhất định có xu hướng tạo thành [[nhóm (toán học)|nhóm]] gọi là nhóm ma trận.

===Ma trận với các phần tử mở rộng===
Bài này viết chủ yếu về ma trận mà các phần tử là [[số thực]] hoặc [[số phức]].<cite id="more_general_entries">Tuy nhiên có thể coi ma trận với phần tử tổng quát hơn số thực hoặc số phức.</cite> Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa, bất kỳ trường toán học nào, tức là các [[tập hợp]] có thể thực hiện được [[phép cộng]], [[phép trừ]], [[phép nhân]] và [[phép chia]] được xác định, có thể được sử dụng thay cho <math>\mathbb{R}</math> hoặc <math>\mathbb{C}</math>, như [[số hữu tỉ]] hoặc [[trường hữu hạn]]. Ví dụ, [[lý thuyết mã hóa]] sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét tới trị riêng, mà chúng là những nghiệm của một đa thức mà chỉ có thể tồn tại trong một trường lớn hơn trường của các phần tử của ma trận; chẳng hạn chúng có thể là phức trong trường hợp ma trận với các phần tử thực. Khả năng để giải thích lại các phần tử của ma trận như là các phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ để coi một ma trận thực như là một ma trận phức khi các phần tử của nó đều là thực) sẽ cho phép mỗi ma trận vuông có một tập đầy đủ các giá trị riêng của nó. Nói cách khác ta chỉ có thể coi ma trận với các phần tử thuộc một [[trường đóng đại số]], như <math>\mathbb{C}</math>, từ một tập hợp ngoài.

Tổng quát hơn, ngành đại số trừu tượng sử dụng nhiều khái niệm ma trận với các phần tử thuộc một [[vành]] ''R''.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Chapter XIII }}</ref> Vành là những khái niệm tổng quát hơn khái niệm trường mà trong nó không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng ra cho tính chất này. Tập hợp M(''n'', ''R'') của mọi ma trận vuông ''n'' x ''n'' trên ''R'' là một vành gọi là [[vành ma trận]], đẳng cấu vào [[vành tự đồng cấu]] của ''R''-[[mô đun (toán học)|mô đun]] ''R''<sup>''n''</sup> bên trái.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=XVII.1, p. 643 }}</ref> Nếu vành ''R'' là [[vành giao hoán|giao hoán]], nghĩa là phép nhân của nó có tính giao hoán, thì M(''n'', ''R'') là một [[đại số kết hợp]] (associative algebra) không giao hoán unita (trừ khi ''n'' = 1) trên ''R''. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán ''R'' vẫn xác định nhờ sử dụng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong ''R'', được tổng quát lên đối với trường ''F'', nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Proposition XIII.4.16 }}</ref> Ma trận trên một siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).<ref>{{Harvard citations |last1=Reichl |year=2004 |nb=yes |loc=Section L.2 }}</ref>

Ma trận không phải lúc nào cũng có toàn bộ các phần tử của nó thuộc về cùng một vành&nbsp;– hay thậm chí trong vành bất kỳ nào đó. Một trường hợp đặc biệt nhưng hay gặp đó là ma trận khối (block matrix), mà có thể coi là ma trận với phần tử chính là những ma trận. Những phần tử này không cần thiết phải là ma trận toàn phương, và do vậy không cần phải là thành viên của một vành thông thường bất kỳ; nhưng kích thước của chúng phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

===Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính===
Ánh xạ tuyến tính '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> là tương đương với ma trận ''m'' x ''n'', như đã miêu tả [[#Ánh xạ tuyến tính|ở trên]]. Tổng quát hơn, bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào {{nowrap|''f'': ''V'' → ''W''}} giữa hai [[không gian vectơ]] có [[chiều Hamel|chiều]] hữu hạn có thể được miêu tả bằng ma trận '''A''' = (''a''<sub>''ij''</sub>), sau khi chọn [[cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] '''v'''<sub>1</sub>,..., '''v'''<sub>''n''</sub> của ''V'', và '''w'''<sub>1</sub>,..., '''w'''<sub>''m''</sub> của ''W'' (do vậy ''n'' là chiều của ''V'' và ''m'' là chiều của ''W''), sao cho
:<math>f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\qquad\mbox{khi }j=1,\ldots,n.</math> 
Nói cách khác, cột ''j'' của ''A'' biểu diễn ảnh của '''v'''<sub>''j''</sub> theo các vectơ cơ sở  '''w'''<sub>''i''</sub> của ''W''; vì thế mối liên hệ này xác định một cách duy nhất các phần tử của ma trận '''A'''. Chú ý rằng ma trận phụ thuộc vào cách lựa chọn cơ sở: chọn cơ sở khác nhau sẽ cho các ma trận khác nhau nhưng [[Tương đương ma trận|tương đương]].<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.3 }}</ref> Nhiều khái niệm cụ thể nêu ở trên có thể được giải thích lại theo cách này, ví dụ, ma trận chuyển vị '''A'''<sup>''T''</sup> miêu tả chuyển vị của một ánh xạ tuyến tính cho bởi '''A''', mà liên quan tới [[không gian đối ngẫu|cơ sở đối ngẫu]].<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.3.13 }}</ref>

Những tính chất này có thể được phát biểu lại theo một cách tự nhiên hơn: [[phạm trù (toán học)|phạm trù]] của mọi ma trận với phần tử trong một trường <math>k</math> trang bị phép nhân như là tổ hợp tương đương với phạm trù của không gian vectơ hữu hạn chiều và ánh xạ trên trường này.

Tổng quát hơn, tập hợp các ma trận ''m''×''n'' có thể dùng để biểu diễn ánh xạ tuyến tính ''R'' giữa những mô đun tự do ''R''<sup>''m''</sup> và ''R''<sup>''n''</sup> cho một vành bất kỳ ''R'' với phần tử đơn vị. Khi hợp ''n''&nbsp;=&nbsp;''m'' của những ánh xạ này xảy ra sẽ đưa đến vành ma trận của các ma trận ''n''×''n'' biểu diễn cho vành tự đẳng cấu của ''R''<sup>''n''</sup>.

===Nhóm ma trận===
{{chính|Nhóm ma trận}}
[[Nhóm (toán học)|Nhóm]] là một cấu trúc toán học chứa một tập hợp các đối tượng cùng với một [[phép toán hai ngôi]], tức là phép toán kết hợp hai đối tượng bất kỳ cho kết quả một đối tượng thứ ba mà tuân theo những đòi hỏi nhất định.<ref>Xem các giáo trình cơ sở về lý thuyết nhóm.</ref> Một nhóm trong đó các đối tượng là những ma trận và phép toán nhóm là phép nhân ma trận được gọi là ''nhóm ma trận''.<ref group="nb">Ngoài ra, nhóm đòi hỏi tập hợp và phép toán phải đóng đối với nhóm tuyến tính tổng quát.</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Baker |year=2003 |nb=yes |loc=Def. 1.30 }}</ref> Vì trong nhóm mỗi phần tử đều phải có phần tử nghịch đảo của nó, nhóm ma trận tổng quát nhất là những nhóm chứa mọi ma trận khả nghịch trong số chiều cho trước, hay còn gọi là [[nhóm tuyến tính tổng quát]].

Bất kỳ tính chất nào của ma trận được bảo toàn dưới phép nhân ma trận và phép nghịch đảo có thể được sử dụng để định nghĩa ra một nhóm ma trận. Ví dụ,  ma trận với kích thước cho trước và định thức bằng 1 tạo thành [[nhóm con]] của nhóm tuyến tính tổng quát, gọi là [[nhóm tuyến tính đặc biệt]].<ref>{{Harvard citations |last1=Baker |year=2003 |nb=yes |loc=Theorem 1.2 }}</ref> Ma trận trực giao xác định bằng điều kiện
:'''M'''<sup>T</sup>'''M''' = '''I''',
tạo thành [[nhóm trực giao]].<ref>{{Harvard citations |last1=Artin |year=1991 |nb=yes |loc=Chapter 4.5 }}</ref> Mỗi nhóm trực giao có định thức bằng 1 hoặc −1. Các ma trận trực giao có định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con gọi là ''nhóm trực giao đặc biệt''.

Mỗi [[nhóm hữu hạn]] là [[phép đẳng cấu]] vào một nhóm ma trận, mà chúng ta có thể coi là [[biểu diễn chính quy]] của [[nhóm đối xứng]].<ref>{{Harvard citations |last1=Rowen |year=2008 |loc=Example 19.2, p. 198 |nb=yes }}</ref> Nhóm tổng quát có thể được nghiên cứu thông qua nhóm ma trận, mà các nhà đại số đã hiểu khá tốt về chúng, thông qua [[lý thuyết biểu diễn]].<ref>Xem các giáo trình về lý thuyết biểu diễn hoặc [[biểu diễn nhóm]].</ref>

===Ma trận rỗng===
''Ma trận rỗng'' được định nghĩa là ma trận với số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) bằng 0.<ref>"Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", [http://www.omatrix.com/manual/glossary.htm Glossary], O-Matrix v6 User Guide</ref><ref>"A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", [http://www.system.nada.kth.se/unix/software/matlab/Release_14.1/techdoc/matlab_prog/ch_dat29.html MATLAB Data Structures]</ref> Khái niệm ma trận rỗng giúp giải quyết với những ánh xạ có sự tham gia của không gian vectơ không (zero vector space). Ví dụ, nếu ''A'' là ma trận 3 x 0 và ''B'' là ma trận 0 x 3, thì ''AB'' là ma trận không 3 x 3 tương ứng với ánh xạ rỗng từ không gian 3 chiều ''V'' vào chính nó, trong khi ''BA'' là ma trận 0 x 0. Không có ký hiệu chung cho ma trận rỗng, nhưng hầu hết các [[hệ thống đại số máy tính]] cho phép tạo ra và thực hiện tính toán với chúng. Định thức của ma trận 0 x 0 định nghĩa bằng 1 khi xét tới tích rỗng (empty product) xuất hiện trong công thức Leibniz cho định thức bằng 1. Giá trị này cũng tương thích với thực tế rằng ánh xạ đồng nhất từ không gian hữu hạn chiều nào vào chính nó đều có định thức bằng 1, một kết quả thường được coi là một phần của đặc trưng hóa của định thức.

==Ứng dụng==
Có rất nhiều ứng dụng của ma trận, cả trong toán học lẫn những ngành khoa học khác. Một số chỉ là tận dụng sự thuận tiện khi biểu diễn một cách ngắn gọn tập hợp số bên trong một ma trận. Ví dụ, trong [[lý thuyết trò chơi]] và [[kinh tế học]], ma trận tiền trả (payoff matrix) chứa số tiền trả của hai người chơi, phụ thuộc vào tập hợp (hữu hạn) các khả năng mà người chơi sẽ chọn.<ref>{{Harvard citations |last1=Fudenberg |last2=Tirole |year=1983 |nb=yes |loc=Section 1.1.1 }}</ref> [[Khai thác văn bản]] và các [[ý điển]] tự động biên tập sử dụng các ma trận phần tử văn bản (document-term matrix) như [[tf-idf]] để đánh dấu tần suất một từ nhất định xuất hiện trong một vài văn bản.<ref>{{Harvard citations |last1=Manning |year=1999 |loc=Section 15.3.4 |nb=yes }}</ref>

Có thể biểu diễn số phức thông qua một ma trận thực 2 x 2 dưới đây
:<math>a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix}
a & -b  \\
b & a \end{bmatrix},</math>
mà tương ứng phép cộng và nhân mỗi số phức chính là phép cộng và nhân mỗi ma trận. Ví dụ, ma trận quay 2 x 2 biểu diễn phép nhân với một số phức có [[giá trị tuyệt đối]] bằng 1, như [[#ma trận quay|ở trên]]. Cách giải thích này cũng tương tự đối với [[quaternion]]<ref>{{Harvard citations |last1=Ward |year=1997 |loc=Ch. 2.8 |nb=yes }}</ref> và [[đại số Clifford]] nói chung.

Những kỹ thuật [[mã hóa]] ban đầu như [[mật mã Hill]] cũng áp dụng lý thuyết ma trận. Tuy nhiên, do bản chất tuyến tính của ma trận, những mã này bị phá tương đối dễ.<ref>{{Harvard citations |last1=Stinson |year=2005 |loc=Ch. 1.1.5 and 1.2.4 |nb=yes }}</ref> [[Đồ họa máy tính]] sử dụng ma trận để vừa biểu diễn ma trận và để tính toán sự biến đổi của các đối tượng sử dụng ma trận quay aphin để đạt được các tác vụ như chiếu một vật thể ba chiều lên màn hình hai chiều, tương ứng với góc quan sát lý thuyết của một camera.<ref>{{Harvard citations |last1=Association for Computing Machinery |year=1979 |loc=Ch. 7 |nb=yes }}</ref> Ma trận trên một [[vành đa thức]] có vai trò quan trọng đối với [[lý thuyết điều khiển]].

[[Hóa học]] áp dụng ma trận theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt từ khi ứng dụng [[cơ học lượng tử]] để nghiên cứu [[liên kết hóa học|liên kết phân tử]] và [[phổ học]]. Các ví dụ bao gồm ma trận đan xen (overlap matrix) và [[ma trận Fock]] sử dụng để giải [[phương trình Roothaan]] nhằm tìm ra [[obitan phân tử]] theo [[phương pháp Hartree–Fock]].

===Lý thuyết đồ thị===
[[Tập tin:Labelled undirected graph.svg|150px|nhỏ|phải|Một đồ thị vô hướng với ma trận kề <math>\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}.</math>]]
[[Ma trận kề]] của một [[đồ thị hữu hạn]] là khái niệm cơ bản trong [[lý thuyết đồ thị]].<ref>{{Harvard citations |last1=Godsil |last2=Royle |year=2004 |nb=yes |loc=Ch. 8.1 }}</ref> Nó biểu diễn hai đỉnh bất kỳ trong đồ thị có được nối với nhau bằng cạnh của đồ thị hay không. Ma trận chỉ chứa hai giá trị (1 và 0 có nghĩa lần lượt "có" và "không") được gọi là [[ma trận lôgic]]. [[Ma trận khoảng cách]] chứa thông tin về khoảng cách giữa các cạnh.<ref>{{Harvard citations |last1=Punnen |year=2002 |nb=yes }}</ref> Những khái niệm này được áp dụng cho các [[website]] kết nối bởi [[siêu liên kết]] hoặc các thành phố kết nối bằng những con đường vv, mà trong hầu hết các trường hợp (ngoại trừ mạng lưới liên kết rất dày đặc) ma trận thường là [[ma trận thưa|thưa]], nghĩa là nó chỉ chứa vài phần tử khác 0. Do vậy, các thuật toán ma trận sửa đổi có thể áp dụng cho [[lý thuyết mạng]].

===Giải tích và hình học===
[[Ma trận Hesse]] của [[hàm số khả vi]] ''ƒ'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' chứa [[đạo hàm bậc hai]] của ''ƒ'' với các thành phần tọa độ, tức là<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=1987a |nb=yes |loc=Ch. XVI.6 }}</ref>
:<math>H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right ].</math>
[[Tập tin:Saddle Point SVG.svg|trái|nhỏ|Tại [[điểm yên ngựa]] (''x''&nbsp;=&nbsp;0, ''y''&nbsp;=&nbsp;0) (đỏ) của hàm ''f''(''x'',−''y'') =&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''y''<sup>2</sup>, ma trận Hess <math>\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{bmatrix}</math> là [[ma trận không xác định|không xác định]].]] Nó mã hóa thông tin về độ biến thiên cục bộ của hàm số: tại một [[điểm tới hạn (toán học)|điểm tới hạn]] '''x'''&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>), là điểm mà [[đạo hàm riêng]] bậc nhất <math>\partial f / \partial x_i</math> của ''ƒ'' triệt tiêu, hàm số có giá trị [[cực trị của hàm số|cực tiểu]] nếu ma trận Hess là [[ma trận xác định dương|xác định dương]]. [[Quy hoạch toàn phương]] có thể được sử dụng để tìm cực tiểu hay cực đại toàn cục của các hàm số toàn phương liên hệ mật thiết với ma trận gắn với chúng (xe [[#dạng toàn phương|ở trên]]).<ref>{{Harvard citations |last1=Nocedal |year=2006 |loc=Ch. 16 |nb=yes }}</ref>

Một ma trận khác thường được sử dụng trong các vấn đề hình học đó là <cite id="Jacobi_matrix">[[ma trận Jacobi]]</cite> của ánh xạ khả vi ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>. Nếu ''f''<sub>1</sub>,..., ''f''<sub>''m''</sub> ký hiệu là các thành phần của ''f'', thì ma trận Jacobi xác định bởi <ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=1987a |nb=yes |loc=Ch. XVI.1 }}</ref>
:<math>J(f) = \left [\frac {\partial f_i}{\partial x_j} \right ]_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}.</math>
Nếu ''n'' > ''m'', và nếu hạng của ma trận Jacobi đạt giá trị lớn nhất bằng ''m'', ''f'' là hàm khả nghịch tại điểm đó theo như [[định lý hàm ẩn]].<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=1987a |nb=yes |loc=Ch. XVI.5 }}. Xem bài viết chi tiết, và những phát biểu tổng quát xem {{Harvard citations|last1 =  Lang|year = 1969|nb = yes|loc=Ch. VI.2}}</ref>

Các nhà toán học có thể phân loại [[phương trình đạo hàm riêng]] bằng cách xét ma trận các hệ số của những toán tử vi phân bậc cao nhất của phương trình. Đối với [[phương trình đạo hàm riêng eliptic]] ma trận này xác định dương và có ảnh hưởng quyết định đến tập hợp nghiệm khả dĩ của bài toán tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng.<ref>{{Harvard citations |last1=Gilbarg |last2=Trudinger |year=2001 |nb=yes }}</ref>

[[Phương pháp phần tử hữu hạn]] là một phương pháp số quan trọng để giải phương trình đạo hàm riêng, được ứng dụng rộng rãi trong việc mô phỏng các hệ thống thực phức hợp. Phương pháp này đánh giá xấp xỉ nghiệm của phương trình bằng cách phân chia phương trình thành các hàm tuyến tính, mà những hàm này được chọn để lưới tạo ra đủ mịn, mà từ đó có thể viết phương trình dưới dạng phương trình ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Šolin |year=2005 |nb=yes |loc=Ch. 2.5 }}.</ref>

{{clear}}

===Lý thuyết xác suất và thống kê===
[[Tập tin:Markov chain SVG.svg|phải|nhỏ|280px|Hai xích Markov khác nhau. Đồ thị thể hiện số hạt (trong tổng số 1000) ở trạng thái "2". Cả hai giá trị giới hạn được xác định từ ma trận chuyển tiếp, lần lượt là <math>\begin{bmatrix}.7&0\\.3&1\end{bmatrix} </math> (đỏ) và <math>\begin{bmatrix}.7&.2\\.3&.8\end{bmatrix} </math> (đen).]]
[[Ma trận quá trình ngẫu nhiên]] là những ma trận vuông mà các hàng của nó là các [[vectơ xác suất]], tức là vectơ có các thành phần không âm và tổng của chúng bằng 1. Ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để tìm [[xích Markov]] với những trạng thái hữu hạn.<ref>{{Harvard citations |last1=Latouche |last2=Ramaswami |year=1999 |nb=yes }}</ref> Một hàng của ma trận ngẫu nhiên cho phân bố xác suất của vị trí tiếp theo của một số hạt ở trong trạng thái tương ứng với hàng đó. Các tính chất của xích Markov giống như [[điểm hấp dẫn]] (attractor), những điểm trạng thái mà các hạt cuối cùng đạt tới, có thể được suy ra từ những vectơ riêng của ma trận chuyển tiếp.<ref>{{Harvard citations |last1=Mehata |last2=Srinivasan |year=1978 |nb=yes |loc=Ch. 2.8 }}</ref>

Lý thuyết thống kê cũng áp dụng ma trận trong nhiều dạng khác nhau.<ref>{{Citation |last=Healy |first=Michael |title=Matrices for Statistics |year=1986 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-850702-4}}</ref> [[Thống kê mô tả]] đề cập tới tập hợp dữ liệu được mô tả, mà chúng được biểu diễn bằng các [[ma trận dữ liệu (thống kê đa biến)|ma trận dữ liệu]], sau đó các nhà thống kê sử dụng những kỹ thuật "thu giảm số biến" (dimensionality reduction" để khảo sát các ma trận này. [[Ma trận hiệp phương sai]] mã hóa [[phương sai]] tương hỗ của các [[biến ngẫu nhiên]].<ref>{{Harvard citations |last1=Krzanowski |year=1988 |loc=Ch. 2.2., p. 60 |nb=yes }}</ref> Các kỹ thuật khác sử dụng ma trận là [[bình phương tối thiểu]], một phương pháp xấp xỉ tập hợp hữu hạn những cặp điểm (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>), (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>),..., (''x''<sub>''N''</sub>, ''y''<sub>''N''</sub>), bằng một hàm số tuyến tính
:''y''<sub>''i''</sub> ≈ ''ax''<sub>''i''</sub> + ''b'', ''i'' = 1,..., ''N'' do chúng có thể được thiết lập dựa trên ngôn ngữ của lý thuyết ma trận, với liên hệ đến kỹ thuật phân tích thành tích các ma trận giá trị riêng đặc biệt (singular value decomposition).<ref>{{Harvard citations |last1=Krzanowski |year=1988 |loc=Ch. 4.1 |nb=yes }}</ref>

[[Ma trận ngẫu nhiên]] là ma trận với phần tử là những số ngẫu nhiên, phù hợp cho nghiên cứu tính chất [[phân bố xác suất]], như là [[ma trận phân bố chuẩn]]. Ngoài lý thuyết xác suất, chúng còn được áp dụng trong phạm vi từ [[lý thuyết số]] tới [[vật lý học]].<ref>{{Harvard citations |last1=Conrey |year=2007 |nb=yes }}</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Zabrodin |last2=Brezin |last3=Kazakov |last4=Serban |last5=Wiegmann |year=2006 |nb=yes }}</ref>

===Đối xứng và các biến đổi trong vật lý học===

Các biến đổi tuyến tính và những [[đối xứng]] đi kèm đóng vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Ví dụ, các [[hạt cơ bản]] trong [[lý thuyết trường lượng tử]] được phân loại nhờ những biểu diễn của [[nhóm Lorentz]] trong thuyết tương đối hẹp và, cụ thể hơn, bởi ứng xử của chúng dưới [[nhóm spin]]. Những biểu diễn tường minh bao gồm [[ma trận Pauli]] và [[ma trận gamma]] tổng quát hơn là phần tích phân của miêu tả vật lý đối với [[fermion]], mà hoạt động như là [[spinor]].<ref>{{Harvard citations |last1=Itzykson |last2=Zuber |year=1980 |nb=yes |loc=Ch. 2 }}</ref> Đối với ba loại [[quark]] nhẹ nhất, có thể biểu diễn chúng bằng [[nhóm unita đặc biệt]] SU(3); và các nhà vật lý sử dụng ma trận biểu diễn thuận tiện gọi là [[ma trận Gell-Mann]] khi tính toán liên quan, ma trận này cũng được sử dụng cho [[nhóm chuẩn]] SU(3) mà nó trở thành cơ sở cho lý thuyết miêu tả về [[tương tác mạnh]], [[sắc động lực học lượng tử]]. [[Ma trận Cabibbo–Kobayashi–Maskawa]], biểu diễn trạng thái cơ bản các quark khi tham gia vào [[tương tác yếu]], nó không giống như ma trận Gell-Mann, nhưng có liên hệ tuyến tính với trạng thái cơ bản các quark xác định lên hạt tổ hợp với tính chất và [[khối lượng]] cụ thể.<ref>see {{Harvard citations |last1=Burgess |last2=Moore |year=2007 |nb=yes |loc=section 1.6.3. (SU(3)), section 2.4.3.2. (Kobayashi–Maskawa matrix) }}</ref>

===Tổ hợp tuyến tính của các trạng thái lượng tử===
Mô hình đầu tiên về [[cơ học lượng tử]] ([[Werner Heisenberg|Heisenberg]], 1925) biểu diễn các toán tử của lý thuyết bằng các ma trận vô hạn chiều tác dụng lên các trạng thái lượng tử.<ref>{{Harvard citations |last1=Schiff |year=1968 |nb=yes |loc=Ch. 6 }}</ref> Lý thuyết này còn được gọi là [[cơ học ma trận]]. Một ví dụ cụ thể đó là [[ma trận mật độ]] đặc trưng cho trạng thái "trộn" của một hệ lượng tử như là tổ hợp tuyến tính của các [[Trị riêng và vectơ riêng|trạng thái riêng]] thuần tuý và cơ bản.<ref>{{Harvard citations |last1=Bohm |year=2001 |nb=yes |loc=sections II.4 and II.8 }}</ref>

Ví dụ khác về ma trận trở thành công cụ quan trọng cho miêu tả các thí nghiệm tán xạ là hoạt động trung tâm của vật lý hạt thực nghiệm: Những phản ứng va chạm xảy ra trong các [[máy gia tốc]], nơi các hạt được cho va chạm đối đầu vào nhau trong một miền va chạm nhỏ, với kết quả sau va chạm sinh ra những hạt mới, có thể được miêu tả bằng tích vô hướng của trạng thái những hạt hình thành với tổ hợp tuyến tính của các hạt tham gia vào va chạm. Tổ hợp tuyến tính này cho bởi ma trận gọi là [[ma trận S]], nó chứa mọi thông tin về các tương tác khả dĩ giữa những hạt tham gia vào va chạm.<ref>{{Harvard citations |last1=Weinberg |year=1995 |nb=yes |loc=Ch. 3 }}</ref>

===Dao động riêng===
Ứng dụng phổ biến của ma trận trong vật lý học là dùng để miêu tả hệ dao động điều hòa tuyến tính. [[Phương trình chuyển động]] của những hệ này có thể miêu tả theo dạng ma trận, với ma trận khối lượng nhân với một vectơ tọa độ sẽ cho số hạng động học, ma trận lực nhân với vectơ chuyển dời vị trí sẽ cho đặc trưng của tương tác. Cách tốt nhất để thu được nghiệm của hệ phương trình đó là xác định các [[vectơ riêng]] của hệ, hay các [[dao động riêng]], bằng cách chéo hóa phương trình ma trận. Các kỹ thuật như thế này là quan trọng khi nghiên nghiên cứu nội động lực [[phân tử]]: các dao động bên trong của hệ chứa các nguyên tử thành phần liên kết với nhau.<ref>{{Harvard citations |last1=Wherrett |year=1987 |nb=yes |loc=part II }}</ref> Chúng cũng cần thiết để miêu tả dao động cơ học, dao động trong mạch điện.<ref>{{Harvard citations |last1=Riley |last2=Hobson |last3=Bence |year=1997 |nb=yes |loc=7.17 }}</ref>

===Quang hình học===
[[Quang hình học]] sử dụng các ứng dụng của ma trận nhiều hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ này, [[ánh sáng|bản chất sóng]] của ánh sáng được bỏ qua. Mô hình kết quả trong đó [[tia sáng]] trở thành [[tia (hình học)|tia hình học]]. Nếu sự lệch của tia sáng bởi các quang cụ là nhỏ, tác dụng của một [[thấu kính]] hoặc dụng cụ phản xạ lên một tia sáng có thể được biểu diễn bằng tích của một vectơ hai thành phần với ma trận 2x2 gọi là ma trận chuyển tiếp tia (ray transfer matrix): các thành phần của vec tơ là độ dốc của tia sáng và khoảng cách của nó tới quang trục, trong khi ma trận mã hóa các tính chất của quang cụ. Thực sự có hai kiểu ma trận, trong đó ''ma trận khúc xạ'' miêu tả sự khúc xạ tại bề mặt thấu kính, và ''ma trận tịnh tiến'' miêu tả sự tịnh tiến của mặt phẳng tham chiếu tới mặt phẳng khúc xạ kề cận, nơi một ma trận khúc xạ khác được áp dụng.
Quang hệ, bao gồm tổ hợp các thấu kính và các dụng cụ phản xạ, được miêu tả đơn giản bằng ma trận từ tích các ma trận thành phần.<ref>{{Harvard citations |last1=Guenther |year=1990 |nb=yes |loc=Ch. 5 }}</ref>

===Điện tử học===
[[Phương pháp phân tích dòng điện vòng]] (mesh analysis) truyền thống trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà có thể miêu tả bằng ma trận.

Hoạt động của nhiều linh kiện [[điện tử học|điện tử]] được miêu tả bằng ma trận. Nếu ''A'' là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp vào ''v''<sub>1</sub> và dòng vào ''i''<sub>1</sub>, gọi ''B'' là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp ra ''v''<sub>2</sub> và dòng ra ''i''<sub>2</sub>. Thì hoạt động của linh kiện điện tử được miêu tả bằng phương trình ''B'' = ''H'' '''•''' ''A'', với ''H'' là ma trận 2 x 2 chứa một phần tử [[trở kháng]] (''h''<sub>12</sub>), và một phần tử [[độ dẫn]] (admitance) (''h''<sub>21</sub>) và hai đại lượng không thứ nguyên (''h''<sub>11</sub> và ''h''<sub>22</sub>). Việc tính toán mạch điện thu về việc nhân các ma trận.

==Tham khảo==
{{tham khảo|2}}
{{tham khảo|group=nb|3}}

==Tham khảo==
* {{citation | first1 = Howard | last1 = Anton | year = 1987 | isbn = 0-471-84819-0 | title = Elementary Linear Algebra | edition = 5th | publisher = John Wiley & Sons | location = New York }}
* {{Citation |last1=Arnold |first1=Vladimir I. |author1-link=Vladimir Arnold |last2=Cooke |first2=Roger |title=Ordinary differential equations |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-3-540-54813-3 |year=1992 }}
* {{Citation |last1=Artin |first1=Michael |author1-link=Michael Artin |title=Algebra |publisher=[[Prentice Hall]] |isbn=978-0-89871-510-1 |year=1991 }}
* {{Citation |last1=Association for Computing Machinery |title=Computer Graphics |publisher=Tata McGraw–Hill |isbn=978-0-07-059376-3 |year=1979 }}
* {{Citation |last1=Baker |first1=Andrew J. |title=Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-1-85233-470-3 |year=2003 }}
* {{Citation |last1=Bau III |first1=David |last2=Trefethen |first2=Lloyd N. |title=Numerical linear algebra |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |location=Philadelphia, PA |isbn=978-0-89871-361-9 |year=1997 }}
* {{citation | first1 = Raymond A. | last1 = Beauregard | first2 = John B. | last2 = Fraleigh | year = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | publisher = Houghton Mifflin Co. | location = Boston }}
* {{Citation |last1=Bretscher |first1=Otto |title=Linear Algebra with Applications |publisher=Prentice Hall |edition=3rd |year=2005 }}
* {{ citation | first1 = Richard | last1 = Bronson | year = 1970 | lccn = 70097490 | title = Matrix Methods:  An Introduction | publisher = Academic Press | location = New York }}
* {{Citation |last1=Bronson |first1=Richard |title=Schaum's outline of theory and problems of matrix operations |publisher=[[McGraw–Hill]] |location=New York |isbn=978-0-07-007978-6 |year=1989 }}
* {{Citation |last1=Brown |first1=William C. |title=Matrices and vector spaces |publisher=Marcel Dekker |location=New York, NY |isbn=978-0-8247-8419-5 |year=1991}}
* {{Citation |last1=Coburn |first1=Nathaniel |title=Vector and tensor analysis |publisher=Macmillan |location=New York, NY |oclc=1029828 |year=1955 }}
* {{Citation |last1=Conrey |first1=J. Brian |title=Ranks of elliptic curves and random matrix theory |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-69964-8 |year=2007 }}
* {{citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{Citation |last1=Fudenberg |first1=Drew |last2=Tirole |first2=Jean |author2-link=Jean Tirole |title=Game Theory |publisher=MIT Press |year=1983 }}
* {{Citation |last1=Gilbarg |first1=David |last2=Trudinger |first2=Neil S. |title=Elliptic partial differential equations of second order |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=2nd |isbn=978-3-540-41160-4 |year=2001 }}
* {{Citation |first1=Chris |last1=Godsil |first2=Gordon |last2=Royle |title=Algebraic Graph Theory |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-95220-8 |year=2004 |volume=207 }}
* {{Citation |last1=Golub |first1=Gene H. |last2=Van Loan |first2=Charles F. |title=Matrix Computations |publisher=Johns Hopkins |edition=3rd |isbn=978-0-8018-5414-9 |year=1996 }}
* {{Citation |last1=Greub |first1=Werner Hildbert |title=Linear algebra |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-90110-7 |year=1975 }}
* {{Citation |last1=Halmos |first1=Paul Richard |title=A Hilbert space problem book |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-90685-0 |mr=675952 |year=1982 |volume=19 }}
* {{Citation |last1=Horn |first1=Roger A. |last2=Johnson |first2=Charles R. |title=Matrix Analysis |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-38632-6 |year=1985 }}
* {{Citation |last1=Householder |first1=Alston S. |title=The theory of matrices in numerical analysis |publisher=Dover Publications |location=New York, NY |mr=0378371 |year=1975 }}
* {{ citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | year = 1972 | isbn = 0-471-50728-8 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = John Wiley & Sons | location = New York }}.
* {{Citation |last1=Krzanowski |first1=Wojtek J. | title=Principles of multivariate analysis |publisher=The Clarendon Press Oxford University Press |series=Oxford Statistical Science Series |isbn=978-0-19-852211-9 |mr=969370 |year=1988 |volume=3 }}
* {{Citation |editor1-last=Itõ |editor1-first=Kiyosi |title=Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV |publisher=MIT Press |edition=2nd |isbn=978-0-262-09026-1 |mr=901762 |year=1987 }}
* {{Citation |last1=Lang |first1=Serge |author1-link=Serge Lang |title=Analysis II |publisher=Addison-Wesley |year=1969 }}
* {{Citation |last1=Lang |first1=Serge |title=Calculus of several variables |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=3rd |isbn=978-0-387-96405-8 |year=1987a }}
* {{Citation |last1=Lang |first1=Serge |title=Linear algebra |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-0-387-96412-6 |year=1987b }}
* * {{Citation |last1=Lang |first1=Serge |title=Algebra |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-0-387-95385-4 |year=2002 }}
* {{Citation |last1=Latouche |first1=Guy |last2=Ramaswami |first2=Vaidyanathan |title=Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |location=Philadelphia, PA |edition=1st |isbn=978-0-89871-425-8 |year=1999 }}
* {{Citation |last1=Manning |first1=Christopher D. |last2=Schütze |first2=Hinrich |title=Foundations of statistical natural language processing |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-13360-9 |year=1999 }}
* {{Citation |last1=Mehata |first1=K. M. |last2=Srinivasan |first2=S. K. |title=Stochastic processes |publisher=McGraw–Hill |location=New York, NY |isbn=978-0-07-096612-3 |year=1978 }}
* {{Citation |last1=Mirsky |first1=Leonid |title=An Introduction to Linear Algebra |url=http://books.google.com/?id=ULMmheb26ZcC&pg=PA1&dq=linear+algebra+determinant |publisher=Courier Dover Publications |isbn=978-0-486-66434-7 |year=1990 }}
* {{citation | first1 = Evar D. | last1 = Nering | year = 1970 | title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | lccn = 76-91646 }}
* {{Citation |last1=Nocedal |first1=Jorge |last2=Wright |first2=Stephen J. |title=Numerical Optimization |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=2nd |isbn=978-0-387-30303-1 |year=2006 |page=449 }}
* {{Citation |last1=Oualline |first1=Steve |title=Practical C++ programming |publisher=O'Reilly Media |isbn=978-0-596-00419-4 |year=2003 }}
* {{Citation |last1=Press |first1=William H. |last2=Flannery |first2=Brian P. |last3=Teukolsky |first3=Saul A. |last4=Vetterling |first4=William T. |title=Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing |url=http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf |publisher=Cambridge University Press |edition=2nd |year=1992 |chapter=LU Decomposition and Its Applications |pages=34–42 }}
* {{ citation | first1 = Murray H. | last1 = Protter | first2 = Charles B. | last2 = Morrey, Jr. | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley | location = Reading }}
* {{Citation |last1=Punnen |first1=Abraham P. |last2=Gutin |first2=Gregory |title=The traveling salesman problem and its variations |publisher=Kluwer Academic Publishers |location=Boston, MA |isbn=978-1-4020-0664-7 |year=2002 }}
* {{Citation |last1=Reichl |first1=Linda E. |title=The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-0-387-98788-0 |year=2004 }}
* {{Citation |last1=Rowen |first1=Louis Halle |title=Graduate Algebra: noncommutative view |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, RI |isbn=978-0-8218-4153-2 |year=2008 }}
* {{Citation |last1=Šolin |first1=Pavel |title=Partial Differential Equations and the Finite Element Method |publisher=Wiley-Interscience |isbn=978-0-471-76409-0 |year=2005 }}
* {{Citation |last1=Stinson |first1=Douglas R. |title=Cryptography |publisher=Chapman & Hall/CRC |series=Discrete Mathematics and its Applications |isbn=978-1-58488-508-5 |year=2005 }}
* {{Citation |last1=Stoer |first1=Josef |last2=Bulirsch |first2=Roland |title=Introduction to Numerical Analysis |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=3rd |isbn=978-0-387-95452-3 |year=2002 }}
* {{Citation |last1=Ward |first1=J. P. |title=Quaternions and Cayley numbers |publisher=Kluwer Academic Publishers Group |location=Dordrecht, NL |series=Mathematics and its Applications |isbn=978-0-7923-4513-8 |mr=1458894 |year=1997 |volume=403 }}
* {{Citation |last1=Wolfram |first1=Stephen |author1-link=Stephen Wolfram |title=The Mathematica Book |publisher=Wolfram Media |location=Champaign, IL |edition=5th |isbn=978-1-57955-022-6 |year=2003 }}

===Tham khảo về vật lý===
* {{Citation |last=Bohm |first=Arno |title=Quantum Mechanics: Foundations and Applications |publisher=Springer |year=2001 |isbn=0-387-95330-2 }}
* {{Citation |last=Burgess |first=Cliff |last2=Moore |first2=Guy |title=The Standard Model. A Primer |publisher=Cambridge University Press |year=2007 |isbn=0-521-86036-9 }}
* {{Citation |last=Guenther |first=Robert D. |title=Modern Optics |publisher=John Wiley |year=1990 |isbn=0-471-60538-7 }}
* {{Citation |last=Itzykson |first=Claude |last2=Zuber |first2=Jean-Bernard |title=Quantum Field Theory |publisher=McGraw–Hill |year=1980 |isbn=0-07-032071-3 }}
* {{Citation |last=Riley |first=Kenneth F. |last2=Hobson |first2=Michael P. |last3=Bence |first3=Stephen J. |title=Mathematical methods for physics and engineering |publisher=Cambridge University Press |year=1997 |isbn=0-521-55506-X }}
* {{Citation |last=Schiff |first=Leonard I. |title=Quantum Mechanics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |year=1968 }}
* {{Citation |last=Weinberg |first=Steven |title=The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations |publisher=Cambridge University Press |year=1995 |isbn=0-521-55001-7 }}
* {{Citation |last=Wherrett |first=Brian S. |year=1987 |title=Group Theory for Atoms, Molecules and Solids |publisher=Prentice–Hall International |isbn=0-13-365461-3 }}
* {{Citation |last1=Zabrodin |first1=Anton |last2=Brezin |first2=Édouard |last3=Kazakov |first3=Vladimir |last4=Serban |first4=Didina |last5=Wiegmann |first5=Paul |title=Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry) |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-1-4020-4530-1 |year=2006}}

===Tham khảo về lịch sử===
* A. Cayley  ''A memoir on the theory of matrices''. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
* {{Citation |last1=Bôcher |first1=Maxime |title=Introduction to higher algebra |publisher=Dover Publications |location=New York, NY |isbn=978-0-486-49570-5 |year=2004 }}, reprint of the 1907 original edition
* {{Citation |last1=Cayley |first1=Arthur |author1-link=Arthur Cayley |title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley |url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 |publisher=Cambridge University Press |year=1889 |volume=I (1841–1853) |pages=123–126 }}
* {{Citation |editor1-last=Dieudonné |editor1-first=Jean |editor1-link=Jean Dieudonné |title=Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 |publisher=Hermann |location=Paris, FR |year=1978 }}
* {{Citation |last1=Hawkins |first1=Thomas |title=Cauchy and the spectral theory of matrices |mr=0469635 |year=1975 |journal=Historia Mathematica |issn=0315-0860 |volume=2 |pages=1–29 |doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4 }}
* {{Citation |last1=Knobloch |first1=Eberhard |title=The intersection of history and mathematics |publisher=Birkhäuser |location=Basel, Boston, Berlin |series=Science Networks Historical Studies |mr=1308079 |year=1994 |volume=15 |chapter=From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations |pages=51–66 }}
* {{Citation |last1=Kronecker |first1=Leopold |author1-link=Leopold Kronecker |editor1-last=Hensel |editor1-first=Kurt |title=Leopold Kronecker's Werke |url=http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001 |publisher=Teubner |year=1897 }}
* {{Citation |last1=Mehra |first1=Jagdish |last2=Rechenberg |first2=Helmut |title=The Historical Development of Quantum Theory |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=1st |isbn=978-0-387-96284-9 |year=1987 }}
* {{Citation |last1=Shen |first1=Kangshen |last2=Crossley |first2=John N. |last3=Lun |first3=Anthony Wah-Cheung |title=Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary |publisher=Oxford University Press |edition=2nd |isbn=978-0-19-853936-0 |year=1999 }}
* {{Citation |last1=Weierstrass |first1=Karl |author1-link=Karl Weierstrass |title=Collected works |url=http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001 |year=1915 |volume=3 }}

==Liên kết ngoài==
{{thể loại Commons|Matrix}}

; Bách khoa toàn thư
* {{springer|title=Matrix|id=p/m062780}}

; Lịch sử
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor: Matrices and determinants]
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages]
* [http://jeff560.tripod.com/matrices.html Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors]

; Sách trực tuyến
* {{Citation |last1=Kaw |first1=Autar K. |title=Introduction to Matrix Algebra |url=http://autarkaw.com/books/matrixalgebra/index.html |isbn=978-0-615-25126-4 }}
* {{Citation |title=The Matrix Cookbook |url=http://orion.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf |accessdate=ngày 24 tháng 3 năm 2014 |format=PDF }}
* {{Citation |last1=Brookes |first1=Mike |title=The Matrix Reference Manual |url=http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html |publisher=[[Imperial College]] |location=London |year=2005 |accessdate=10 Dec 2008 }}

; Phần mềm tính ma trận trực tuyến
* {{Citation |title=SimplyMath (Matrix Calculator) |url=http://www.webalice.it/simoalessia/SimplyMath/matrix.html }}
* {{Citation |title=Matrix Calculator (DotNumerics) |url=http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ }}
* {{Citation |last1=Xiao |first1=Gang |title=Matrix calculator |url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en |accessdate=10 Dec 2008 }}
* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ |accessdate=10 Dec 2008 }}
* {{Citation |title=Online matrix calculator (ZK framework) |url=http://matrixcalc.info/MatrixZK/ |accessdate=26 Nov 2009 }}
* {{Citation |title=MacAnova |url=http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html |last1=Oehlert |first1=Gary W. |last2=Bingham |first2=Christopher |publisher=[[University of Minnesota]], School of Statistics |accessdate=10 Dec 2008 }}, a freeware package for matrix algebra and statistics
* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.idomaths.com/matrix.php |accessdate=14 Dec 2009 }}
*[http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php?language=english Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Mã vạch}}
{{Đại số tuyến tính}}
{{Đại số}}
{{Toán học}}

[[Thể loại:Đại số trừu tượng]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]
[[Thể loại:Ma trận| ]]