Xem mã nguồn của Nghiệm đơn vị

{{Cần biên tập}}
[[Tập tin:One5Root.svg|phải|nhỏ|Nghiệm đơn vị cấp 5 trong [[Mặt phẳng phức]]]]
Trong [[toán học]], '''nghiệm đơn vị''', đôi khi gọi là số [[Abraham de Moivre|de Moivre]], là [[số phức]] bất kỳ khi [[lũy thừa]] mũ nguyên dương {{mvar|n}} có kết quả bằng 1 . Nghiệm đơn vị được sử dụng trong nhiều nhánh của toán học, và đặc biệt quan trọng trong [[lý thuyết số]], lý thuyết [[group character|nhóm tính chất]], và [[biến đổi Fourier rời rạc]].

Trong [[trường (đại số)|lý thuyết trường]] và [[lý thuyết vành]], khái niệm nghiệm đơn vị cũng áp dụng cho bất kỳ [[vành]] nào có [[1 (số)|phần tử nhân được]]. [[Trường đóng đại số]] có chính xác {{mvar|n}} nghiệm đơn vị cấp {{mvar|n}} nếu {{mvar|n}} không chia hết cho [[Characteristic (algebra)|đặc trưng]] của trường.

== Định nghĩa ==
'''Nghiệm đơn vị cấp {{mvar|n}}''', trong đó {{mvar|n}} là một số nguyên dương (tức là {{Math|1=''n'' = 1, 2, 3, …}}), là một số {{mvar|z}} thỏa [[phương trình]] sau:<ref>{{Chú thích sách |author=Hadlock, Charles R.|title=Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-88385-032-9|pages=84–86|url=https://books.google.com/books?id=5s1p0CyafnEC&pg=PA84}}</ref><ref>{{Chú thích sách |author=Lang, Serge|chapter=Roots of unity|title=Algebra|publisher=Springer|year=2002|isbn=978-0-387-95385-4|pages=276–277|url=https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC&pg=PA276}}</ref>

:<math>z^n = 1</math>

Nếu không nói gì thêm, nghiệm đơn vị là các [[số phức]] , (bao gồm số 1, và số -1 nếu ''n'' chẵn, là các số phức với phần ảo bằng 0), và trong trường hợp này, nghiệm đơn vị cấp {{mvar|n}} có dạng

:<math>e^{\frac{2k\pi i}{n}}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\quad\quad k=0,1,\dots , n-1.</math>

Một nghiệm đơn vị cấp {{mvar|n}} được gọi là '''{{Vanchor|nguyên thủy}}''' nếu nó không là một nghiệm đơn vị cấp {{mvar|k}} của các số {{mvar|k}} nhỏ hơn {{mvar|n}}:

:<math>z^k \ne 1 \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n-1  ) </math>

Nếu ''n'' là [[số nguyên tố]], tất cả nghiệm đơn vị cấp {{Math|''n''}}, ngoại trừ 1, đều nguyên thủy.

== Ví dụ ==
Tìm các nghiệm đơn vị cấp 3?

Theo định nghĩa, nghiệm đơn vị cấp 3 là nghiệm của phương trình <math>z^3 = 1 </math>. Dễ thấy <math>z = 1 </math> là một nghiệm của phương trình, vậy 1 là một nghiệm đơn vị cấp 3.

Tuy nhiên, còn 2 nghiệm phức của phương trình là <math>z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}</math> và <math>z=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}</math>.

Vậy tập các nghiệm đơn vị cấp 3 là 

:<math>U_3=\left\{1,\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right\}</math>

== Xem thêm ==
* [[Argand system|Hệ Argand]]
* [[Circle group|Nhóm tròn]], các số phức đơn vị
* [[Group scheme of roots of unity|Nhóm kế hoạch của nghiệm đơn vị]]
* [[Căn nguyên thủy modulo n|Căn nguyên thủy modulo ''n'']]
* [[Dirichlet character|Tính chất Dirichlet]]
* [[Ramanujan's sum|Tổng Ramnujan]]
* [[Kummer ring|Vành Kummer]]
* [[Witt vector|Vector Witt]]
* [[Teichmüller character|Tính chất Teichmüller]]

== Chú thích ==
{{refimprove|date=April 2012}}
{{tham khảo}}

== Tham khảo ==
* {{Lang Algebra|edition=3r}}
* {{Chú thích web|first=James S.|last=Milne|tiêu đề=Algebraic Number Theory|work=Course Notes|url=http://www.jmilne.org/math|year=1998}}
* {{Chú thích web|first=James S.|last=Milne|tiêu đề=Class Field Theory|work=Course Notes|url=http://www.jmilne.org/math|year=1997}}
* {{Neukirch ANT}}
* {{Cite book|first=Jürgen|last=Neukirch|title=Class Field Theory|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=1986|isbn=3-540-15251-2}}
* {{Cite book|first=Lawrence C.|last=Washington|title=Cyclotomic fields|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1997|edition=2nd|isbn=0-387-94762-0}}
* {{Cite book|author=[[John Derbyshire|Derbyshire, John]]|title=Unknown Quantity|chapter=Roots of Unity|year=2006|publisher=[[Joseph Henry Press]]|location=Washington, D.C.|isbn=0-309-09657-X|url=http://www.JohnDerbyshire.com/Books/Unknown/page.html}}

== Đọc thêm ==
* {{cite book | last=Storer | first=Thomas | title=Cyclotomy and difference sets | location=Chicago | publisher=Markham Publishing Company | year=1967 | zbl=0157.03301 }}

{{Số đại số}}

{{DEFAULTSORT:Root Of Unity}}
[[Category:Trường Cyclotomic]]
[[Category:1 (số)]]

[[Thể loại:Số đại số]]
[[Thể loại:Số phức]]
[[Thể loại:Đa thức]]