Xem mã nguồn của Phương trình bậc hai

[[File:Quadratic formula.svg|thumbnail|[[Công thức bậc hai|Công thức nghiệm]] tổng quát của phương trình bậc hai]]
Trong [[đại số sơ cấp]], '''phương trình bậc hai''' là phương trình có dạng:
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
với {{math|''x''}} là ẩn số chưa biết và {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} là các số đã biết sao cho {{math|''a''}} khác 0. Các số {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, và {{math|''c''}} là những ''[[hệ số]]'' của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng ''hệ số bậc hai'', ''hệ số bậc một'', và ''hằng số'' hay ''số hạng tự do''.<ref>Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"</ref>

Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "[[đơn biến]]". Phương trình bậc hai chỉ chứa [[lũy thừa]] của {{math|''x''}} là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng [[phương trình đại số|phương trình đa thức]], cụ thể là [[bậc của đa thức|phương trình đa thức bậc hai]] do bậc cao nhất là hai.

Các cách [[giải phương trình]] bậc hai phổ biến là [[phân tích nhân tử|nhân tử hóa]] (phân tích thành nhân tử), phương pháp [[phần bù bình phương]], sử dụng [[công thức bậc hai|công thức nghiệm]], hoặc [[đồ thị hàm số|đồ thị]]. Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.

==Giải phương trình bậc hai==
[[File:Quadratic equation coefficients.png|thumb|right|300px|Hình 1. Đồ thị của hàm số bậc hai {{nowrap|''y'' {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} với mỗi hệ số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên tại giá trị ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;0, ''c''&nbsp;=&nbsp;0. Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số {{nowrap|''y'' {{=}} ''ax''<sup>2</sup>}} (b {{=}} c {{=}} 0 không đổi) ứng với các giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''bx''}} và đồ thị bên trái là của hàm số {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + c}}.]]

Một phương trình bậc hai với các [[hệ số]] [[số thực|thực]] hoặc [[số phức|phức]] có hai đáp số, gọi là các ''nghiệm''. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.

===Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra===
Phương trình bậc hai {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} có thể viết được thành {{math|(''px'' + ''q'')(''rx'' + ''s'') {{=}} 0}}. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị ''p'', ''q'', ''r,'' và ''s'' sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu {{math|''px'' + ''q'' {{=}} 0}} hoặc {{math|''rx'' + ''s'' {{=}} 0}}. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.

Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp [[giải phương trình]] bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.<ref name=Washington2000>{{cite book|last=Washington|first=Allyn J.|title=Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition|year=2000|publisher=Addison Wesley Longman, Inc.|isbn=0-201-35666-X}}</ref>{{rp|202&ndash;207}} Nếu phương trình bậc hai ở dạng {{math|''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} (''a'' {{=}} {{math|1}}) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành {{math|(''x'' + ''q'')(''x'' + ''s'')}}, trong đó ''q'' và ''s'' có tổng là ''b'' và tích là ''c'' (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"<ref>{{citation|title=Numbers|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=123|first1=Heinz-Dieter|last1=Ebbinghaus|first2=John H.|last2=Ewing|publisher=Springer|year=1991|isbn=9780387974972|page=77|url=http://books.google.com/books?id=OKcKowxXwKkC&pg=PA77}}.</ref>) Ví dụ, {{math|''x''<sup>2</sup> + 5''x'' + 6}} viết thành {{math|(''x'' + 3)(''x'' + 2)}}. Trường hợp tổng quát hơn khi {{math|''a''}} {{math|≠}} {{math|1}} đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.

Trừ những trường hợp đặc biệt như khi {{math|''b'' {{=}} 0}} hay {{math|''c'' {{=}} 0}}, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.<ref name=Washington2000/>{{rp|207}}

===Phần bù bình phương===
{{Main|Phần bù bình phương}}
[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|300px|Hình 2. Đồ thị [[hàm số bậc hai]] {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2}}. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành {{math|''x'' {{=}} −1}} và {{math|''x'' {{=}} 2}} là nghiệm của phương trình bậc hai {{math|''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2 {{=}} 0}}.]]
Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:
:<math>x^2+2hx+h^2 = (x+h)^2,</math>
một [[thuật toán]] rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.<ref name=Washington2000/>{{rp|207}} Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} 
#Chia hai vế cho {{math|''a''}}, hệ số của ẩn bình phương.
#Trừ {{math|''c''/''a''}} mỗi vế.
#Thêm bình phương của một nửa {{math|''b''/''a''}}, hệ số của {{math|''x''}}, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
#Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
#Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
#Giải hai phương trình bậc nhất.

Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. [[Giải phương trình]] {{math|2''x''<sup>2</sup> + 4''x'' &minus; 4 {{=}} 0}}
:<math>\Leftrightarrow \ x^2+2x-2=0</math>
:<math>\Leftrightarrow x^2+2x=2</math>
:<math> \Leftrightarrow \ x^2+2x+1=2+1</math>
:<math>\Leftrightarrow \left(x+1 \right)^2=3</math>
:<math>\Leftrightarrow \ x+1=\pm\sqrt{3}</math>
:<math>\Leftrightarrow \ x=-1\pm\sqrt{3}</math>

[[Dấu cộng-trừ|Dấu cộng-trừ "±"]] biểu thị rằng cả {{math|''x'' {{=}} &minus;1 + &radic;3}} và {{math|''x'' {{=}} &minus;1 &minus; &radic;3}} đều là nghiệm của phương trình.<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=http://books.google.com/?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=219}}</ref>

===Công thức nghiệm===
{{main|Công thức nghiệm của phương trình bậc hai}}
Có thể áp dụng phương pháp [[phần bù bình phương]] để rút ra một công thức tổng quát cho việc [[giải phương trình]] bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.<ref>{{citation
|title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra
|first1=Barnett
|last1=Rich
|first2=Philip
|last2=Schmidt
|publisher=The McGraw-Hill Companies
|year=2004
|isbn=0-07-141083-X
|url=http://books.google.com/?id=8PRU9cTKprsC}}, [http://books.google.be/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291]</ref> Giờ là phần [[chứng minh toán học|chứng minh]] tóm tắt.<ref>Himonas, Alex. ''[http://books.google.com/books?id=1Mg5u98BnEMC&q=%22left+as+an+exercise%22+and+%22quadratic+formula%22&dq=%22left+as+an+exercise%22+and+%22quadratic+formula%22&hl=en&sa=X&ei=6CJbUu2aFMylkQei6YGABA&ved=0CDMQ6AEwATgK Calculus for Business and Social Sciences]'', p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).</ref> Bằng [[khai triển đa thức]], dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:
:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.</math>
Lấy [[căn bậc hai]] của hai vế rồi chuyển {{math|''x''}} về một bên, ta được:
:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>

Một số nguồn [[Văn kiện|tài liệu]], đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như {{math|''ax''<sup>2</sup> + 2''bx'' + ''c'' {{=}} ''0''}} hoặc {{math|''ax''<sup>2</sup> &minus; 2''bx'' + ''c'' {{=}} 0}}&nbsp;,<ref name="kahan">{{Citation |first=Willian |last=Kahan |title=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic |url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf |date=November 20, 2004 |accessdate=2012-12-25}}</ref> ở đây {{math|''b''}} có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương.

Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.

Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong [[phương pháp Muller]] và có thể tìm được từ [[Định lý Viète|công thức Viet]]:
:<math>x=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}.</math>

Một tính chất của công thức này là khi {{math|''a'' {{=}} ''0''}} nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho {{math|0}}, bởi khi {{math|''a'' {{=}} ''0''}} thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho {{math|0}} ở cả hai trường hợp.

===Phương trình bậc hai rút gọn===
Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho [[hệ số lớn nhất]] bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho ''a'', điều này luôn thực hiện được bởi ''a'' khác {{math|0}}, ta được ''phương trình bậc hai rút gọn'':<ref>Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. ''Concise Handbook of Mathematics and Physics'', p. 38 (CRC Press 1997)</ref>

:<math>x^2+px+q=0,</math>

trong đó ''p'' = ''b''/''a'' và ''q'' = ''c''/''a''. Công thức nghiệm của phương trình này là:
:<math>x = \frac{1}{2} \left(- p \pm \sqrt{p^2 - 4q} \right).</math>

===Biệt thức===
{{main|Biệt thức}}
[[File:Quadratic eq discriminant.svg|thumb|right|Hình 3. Ảnh hưởng của dấu của biệt thức đến số nghiệm [thực] của phương trình bậc hai. Khi Δ > {{math|0}}, đường parabol cắt trục hoành tại hai điểm; Δ = {{math|0}}, đỉnh của parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất; Δ < {{math|0}}, parabol không giao trục hoành tại bất kỳ điểm nào. (đường parabol là đồ thị của hàm số bậc hai)]]
Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là ''[[biệt thức]]'' và thường được biểu diễn bằng chữ {{math|''D''}} hoa hoặc chữ [[delta]] hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:<ref>'''Δ''' is the initial of the [[Greek language|Greek]] word '''Δ'''ιακρίνουσα, ''Diakrínousa'', discriminant.</ref>
:<math>\Delta = b^2 - 4ac.</math>
:Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn:
::<math>\Delta' = b'^2 - ac.</math>
Phương trình bậc hai với các hệ số ''thực'' có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:
*Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > {{math|0}} hay Δ'>0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

::<math>\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{và}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{(hoặc}\quad \frac{-b' + \sqrt {\Delta'}}{a} \quad\text{và}\quad \frac{-b' - \sqrt {\Delta'}}{a}{)}</math>
:cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số [[số hữu tỉ|hữu tỉ]], nếu Δ, Δ' là một [[số chính phương]] thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các [[số vô tỉ]].
*Nếu Δ {{=}} {{math|0}} (hoặc Δ' {{=}} {{math|0}}), phương trình có một nghiệm [[số thực|thực]]:

::<math>-\frac{b}{2a}</math>(hoặc <math>-\frac{b'}{a}</math>)
:hay đôi khi còn gọi là [[nghiệm kép]].
*Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < {{math|0}} hoặc Δ' < {{math|0}}), phương trình không có nghiệm thực, thay vào đó là hai nghiệm [[số phức|phức]] phân biệt<ref>{{cite book|last=Achatz|first=Thomas|last2=Anderson|first2=John G.|last3=McKenzie|first3=Kathleen|title=Technical Shop Mathematics|year=2005|publisher=Industrial Press|isbn=0-8311-3086-5|url=http://books.google.co.uk/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA276&dq=quadratic+formula&hl=en&sa=X&ei=mG_8T9-PMuPC0QXOmZigBw&ved=0CEEQ6AEwAQ#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=277}}</ref>

::<math> \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a} \quad\text{và}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}</math>(hoặc <math> \frac{-b'}{a} + i \frac{\sqrt {-\Delta'}}{a} \quad\text{và}\quad \frac{-b'}{a} - i \frac{\sqrt {-\Delta'}}{a}</math>)
:là những [[số phức liên hợp]], còn {{math|''i''}} là [[đơn vị ảo]].

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác {{math|0}}, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ {{math|0}})
.

=== Diễn giải bằng hình học ===
Hàm số {{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} là [[hàm số bậc hai]].<ref>{{cite book |last=Wharton |first=P. |title=Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher |year=2006 |publisher=Lonsdale |isbn=978-1-905-129-78-2|url=http://books.google.co.uk/books?id=LMmKq-feEUoC&pg=PA63&dq=%22Quadratic+function%22+%22Quadratic+equation%22&hl=en&sa=X&ei=bnT8T-6AKIWX8gP13bCzBw&ved=0CDsQ6AEwAQ#v=onepage&q=%22Quadratic%20function%22%20%22Quadratic%20equation%22&f=false |page=63}}</ref> Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là [[parabol]]. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, và {{math|''c''}}. Nếu {{math|''a'' &gt; 0}}, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu {{math|''a'' &lt; 0}}, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với [[đỉnh (đường cong)|đỉnh]] của nó; điểm này có hoành độ <math>\scriptstyle x=\tfrac{-b}{2a}</math>, tính ''{{math|x}}'' rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ {{math|(0, ''c'')}}.

Các nghiệm của phương trình bậc hai {{math|''ax''<sup>2</sup> + {{math|''bx''}} + {{math|''c''}} {{=}} 0}} tương ứng là các [[nghiệm]] của hàm số {{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} bởi chúng là những giá trị của {{math|''x''}} để cho {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}. Nếu {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, và {{math|''c''}} là những [[số thực]] và [[miền xác định]] của hàm {{math|''f''}} là tập hợp số thực thì nghiệm của {{math|''f''}} là [[hệ tọa độ|hoành độ]] của giao/tiếp điểm của đồ thị với trục hoành (xem hình 3).

===Nhân tử hóa đa thức bậc hai===
Biểu thức
:<math>x - r</math>
là nhân tử của đa thức
: <math>ax^2+bx+c</math>
khi và chỉ khi {{math|''r''}} là một nghiệm của phương trình bậc hai
: <math>ax^2+bx+c=0.</math>
Từ công thức nghiệm ta có
: <math>ax^2+bx+c = a \left(x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left(x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right).</math>
Trong trường hợp đặc biệt {{math|''b''<sup>2</sup> {{=}} 4''ac''}} (hay Δ {{=}} {{math|0}}) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành
:<math>ax^2+bx+c = a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2.</math>

==Lịch sử==
Ngay từ năm 2000 trước Công Nguyên, [[Toán học Babylon|các nhà toán học Babylon]] đã có thể giải những bài toán liên quan đến diện tích và các cạnh của hình chữ nhật. Có bằng chứng chỉ ra thuật toán này xuất hiện từ [[triều đại Ur thứ ba]].<ref name=Friberg2009>{{cite journal|last=Friberg|first=Jöran|title=A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma|journal=Cuneiform Digital Library Journal|year=2009|volume=3|url=http://cdli.ucla.edu/pubs/cdlj/2009/cdlj2009_003.html}}</ref> Theo ký hiệu hiện đại, các bài toán này thường liên quan đến việc giải hệ gồm hai phương trình:
:<math> x+y=p,\ \ xy=q </math>
tương đương với phương trình:<ref name=Stillwell2004>{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=Mathematics and Its History (2nd ed.) |year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1}}</ref>{{rp|86}}
:<math>x^2+q=px</math>

Các bước giải được người Babylon đưa ra như sau:
#Tính ''p/2''.
#Bình phương kết quả tìm được.
#Trừ đi ''q''.
#Tính căn bậc hai bằng bảng căn bậc hai.
#Cộng kết quả của bước (1) và (4) để tìm {{math|''x''}}. Điều này về cơ bản là tương đương với việc tính <math>x = \frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>

Ở Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và Ấn Độ, phương pháp hình học được sử dụng để [[giải phương trình]] bậc hai. Tài liệu [[Berlin Papyrus 6619|Berlin Papyrus]] của người Ai Cập có từ thời [[Trung vương quốc Ai Cập|Trung vương quốc]] (từ năm 2050 đến 1650 trước CN) có chứa lời giải của phương trình bậc hai hai số hạng.<ref>{{cite book|title=The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East|url=http://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|page=530}}</ref> Trong nguyên bản kinh [[Sulba Sutras]], khoảng thế kỷ 8 trước CN, phương trình bậc hai dạng {{math|''ax''<sup>2</sup> {{=}} ''c''}} và {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' {{=}} ''c''}} được khảo sát bằng phương pháp hình học. Các nhà toán học Babylon từ khoản năm 400 trước CN và [[Toán học Trung Quốc|các nhà toán học Trung Quốc]] từ khoảng năm 200 trước CN đã sử dụng [[Bài toán phân chia|phương pháp phân chia hình học]] để giải các phương trình bậc hai với nghiệm dương.<ref name=Henderson>{{Chú thích web|họ 1=Henderson|tên 1=David W.|tiêu đề=Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations |nhà xuất bản=Mathematics Department, Cornell University |url=http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/geomsolu/geomsolu.html|ngày truy cập=28 April 2013}}</ref><ref name=Aitken>{{Chú thích web|họ 1=Aitken|tên 1=Wayne|tiêu đề=A Chinese Classic: The Nine Chapters|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|nhà xuất bản=Mathematics Department, California State University|ngày truy cập=28 April 2013}}</ref> Cuốn ''[[Cửu chương toán thuật]]'' của người Trung Quốc có ghi những quy tắc của phương trình bậc hai.<ref name=Aitken/><ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=History of Mathematics|url=http://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA380|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|page=380}}</ref> Trong những phương pháp hình học thuở đầu này không xuất hiện một công thức tổng quát. Tới khoảng năm 300 trước CN, nhà toán học Hy Lạp [[Euclid]] đã cho ra một phương pháp hình học trừu tượng hơn. Với cách tiếp cận hoàn toàn bằng hình học, [[Pythagoras]] và Euclid đã tạo dựng một phương pháp tổng quan để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Trong tác phẩm ''[[Arithmetica]]'' của mình, nhà toán học Hy Lạp [[Diophantus]] đã [[giải phương trình]] bậc hai, tuy nhiên chỉ cho ra một nghiệm, kể cả khi cả hai nghiệm đều là dương.<ref>{{cite book |title=History of Mathematics, Volume 1 |first1=David Eugene |last1=Smith |publisher=Courier Dover Publications |year=1958 |isbn=0-486-20429-4 |page=134 |url=http://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC}} [http://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA134 Extract of page 134]</ref>

Vào năm 628 CN, [[Brahmagupta]], một [[Toán học Ấn Độ|nhà toán học Ấn Độ]] đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' {{=}} ''c''}} như sau: "Nhân số tuyệt đối (''c'') với bốn lần hệ số bình phương, cộng với bình phương hệ số số hạng ở giữa; căn bậc hai toàn bộ, trừ đi hệ số số hạng ở giữa, rồi chia cho hai lần hệ số bình phương là giá trị." (''Brahmasphutasiddhanta'', Colebrook translation, 1817, tr 346)<ref name=Stillwell2004/>{{rp|87}} Điều này tương đương:
:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}.</math>

''[[Thủ bản Bakhshali]]'' ra đời ở Ấn Độ vào thế kỷ 7 CN có chứa một công thức đại số cho việc [[giải phương trình]] bậc hai, cũng như những phương trình [[vô định (biến số)|vô định]]. [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi]] đi xa hơn trong việc cung cấp một lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát,<ref name=Katz2007>{{Cite journal | last1 = Katz | first1 = V. J. | last2 = Barton | first2 = B. | doi = 10.1007/s10649-006-9023-7 | title = Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching | journal = Educational Studies in Mathematics | volume = 66 | issue = 2 | pages = 185&ndash;201 | year = 2006 | pmid = | pmc = }}</ref> ông cũng đã mô tả phương pháp phần bù bình phương và thừa nhận rằng [[biệt thức]] phải dương,<ref name=Katz2007/><ref name=Boyer1991/>{{rp|230}} điều đã được [['Abd al-Hamīd ibn Turk]] (Trung Á, thế kỷ 9) chứng minh. Turk là người đưa ra những biểu đồ hình học chứng minh rằng nếu biệt thức âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm.<ref name=Boyer1991>{{cite book|last=Boyer|first=Carl B.; Uta C. Merzbach, rev. editor|title=A History of Mathematics|year=1991|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7}}</ref>{{rp|234}} Trong khi bản thân al-Khwarizmi không chấp nhận nghiệm âm, các nhà toán học Hồi giáo kế tục ông sau này đã chấp nhận nghiệm âm cũng như nghiệm [[số vô tỉ|vô tỉ]].<ref name=Katz2007/>{{rp|191}}<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Arabic_mathematics|title=Arabic mathematics: forgotten brilliance?|year=1999}} "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects"."</ref> Cá biệt [[Abū Kāmil Shujā ibn Aslam]] (Ai Cập, thế kỷ 10) là người đầu tiên chấp nhận các số vô tỉ (thường ở dạng [[căn bậc hai]], [[căn bậc ba]] hay [[căn bậc bốn]]) là nghiệm hay là [[hệ số]] của phương trình bậc hai.<ref>Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics|editor1-first=Helaine|editor1-last=Selin|editor1-link=Helaine Selin|editor2-first=Ubiratan|editor2-last=D'Ambrosio|editor2-link=Ubiratan D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2}}</ref> Nhà toán học Ấn Độ thế kỷ thứ 9 [[Sridhara]] đã viết ra các quy tắc [[giải phương trình]] bậc hai.<ref>{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=History of Mathematics|url=http://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA280|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20429-1|page=280}}</ref>

Nhà toán học người Do Thái [[Abraham bar Hiyya|Abraham bar Hiyya Ha-Nasi]] (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là tác giả cuốn sách đầu tiên của người châu Âu có chứa lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát.<ref name=Livio2006>{{cite book |last=Livio |first=Mario |title=The Equation that Couldn't Be Solved |year=2006 |publisher=Simon & Schuster |isbn=0743258215 |url=http://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC&pg=PA62&lpg=PA62&dq=Abraham+bar+Hiyya+Ha-Nasi+quadratic&source=bl&ots=85JwJi8y4q&sig=UvI5MOdfntTgYwJgR_-5yEZuvEI&hl=en&ei=yGSjSe7eB4iQngf9p52kBQ&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result}}</ref> Giải pháp của Ha-Nasi dựa nhiều vào tác phẩm của Al-Khwarizmi.<ref name=Katz2007/> Lần đầu tiên hệ số âm của 'x' xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học người Trung Quốc [[Yang Hui (nhà toán học)|Yang Hui]] (1238–1298 CN), dù vậy ông cho điều này là từ nhà toán học [[Liu Yi (nhà toán học)|Liu Yi]] ở thời trước đó.<ref name=Ron>{{cite book|last=Ronan|first=Colin|title=The Shorter Science and Civilisation in China|url=http://books.google.com/books?id=XsMxmS7NyukC&pg=PA15|year=1985|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-31536-4|page=15}}</ref> Vào năm 1545 [[Gerolamo Cardano]] biên soạn các tác phẩm liên quan đến phương trình bậc hai. Công thức nghiệm cho mọi trường hợp lần đầu đạt được bởi [[Simon Stevin]] vào năm 1594.<ref>{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets & Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}</ref> Năm 1637 [[René Descartes]] công bố tác phẩm ''[[La Géométrie]]'' trong đó có chứa công thức nghiệm mà chúng ta biết ngày nay. Lời giải tổng quát xuất hiện lần đầu trong tài liệu toán học hiện đại vào năm 1896, bởi Henry Heaton.<ref name="heaton-1896">{{cite journal | last1 = Heaton | first1 = H | year = 1896 | title = A Method of Solving Quadratic Equations | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 3 | issue = 10| pages = 236–237 | jstor=2971099 | doi=10.2307/2971099}}</ref>

== Công thức Viète ==
[[Định lý Viète#Ph.C6.B0.C6.A1ng tr.C3.ACnh b.E1.BA.ADc hai|Công thức Viète]] cho ta thấy quan hệ đơn giản giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu như sau:
* Nếu <math>
 x_1</math> ''và'' <math>
x_2</math> là hai nghiệm của phương trình <math>ax^2+bx+c=0 \, (a \neq 0)</math> thì: <math>
\begin{cases}x_1+x_2 = S = -\frac{b}{a}\\\\x_1 x_2 = P = \frac{c}{a}\\ \end{cases}</math>

== Các trường hợp nhận biết đặc biệt ==
Khi phương trình bậc hai đã cho có dấu hiệu sau:
* <math>a+b+c=0</math> (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: <math>x_1 = 1; \,x_2=\frac{c}{a}</math>.
* <math>a-b+c=0</math> (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: <math>x_1 = -1; \,x_2=-\frac{c}{a}</math>
* Nếu <math>ac<0</math> (tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

== Chủ đề liên quan ==
* [[Phương trình]]
* [[Phương trình tuyến tính]]
* [[Hàm số bậc nhất]]
* [[Hàm số bậc hai]]
* [[Phương trình bậc ba]]
* [[Phương trình bậc bốn]]
* [[Phương trình bậc năm]]
* [[Lý thuyết cơ bản của đại số]]
* [[Đường cô-nic|Đường cong bậc hai]]
* [[Mặt bậc hai]]

==Tham khảo==
{{tham khảo|2}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://www.mathsisfun.com/quadratic-equation-solver.html Quadratic Equation Solver]
* [http://www.algebra.com/algebra/homework/quadratic/ Solve Quadratic equations, see work shown and draw graphs]

{{Các phương trình đại số}}

[[Thể loại:Đại số]]
[[Thể loại:Phương trình đại số]]
[[Thể loại:Đại số sơ cấp]]
[[Thể loại:Đa thức]]