Xem mã nguồn của Rot (toán tử)

Trong [[giải tích vectơ]], toán tử '''rot''' là một [[toán tử vectơ]] mô tả 
[[độ xoáy]] của một [[trường vectơ]]. Tại bất kì điểm nào trên trường vectơ, rot được biểu thị
bằng một [[vectơ]]. Các thuộc tính của vectơ này (độ dài và hướng) nói lên bản chất của độ xoáy
tại điểm đó.

Hướng của rot là trục xoay, định bởi [[luật bàn tay phải]], và độ lớn của rot là độ lớn của
mức độ xoáy. Nếu trường vectơ tượng trưng cho [[vận tốc chảy]] của một [[chất lỏng]] đang lưu
chuyển, thì rot sẽ là '''mật độ [[xoáy]]''' của chất lỏng đó. Một trường vectơ với rot bằng zero 
được gọi là [[không xoáy]].

Thuật ngữ khác được dùng là "rotor" hay "rotational" và các ký hiệu khác  <math>\operatorname{rot}\ \mathbf{F}</math> và <math>\nabla\times\mathbf{F}</math> cũng thường
được sử dụng cho "rot" và 
<math>\operatorname{rot}\ \mathbf{F}</math>.

==Định nghĩa==
Rot của một trường vectơ '''F''', ký hiệu là <math>\operatorname{rot}\ \mathbf{F}</math> hay <math>\nabla \times \mathbf{F}</math>, tại một điểm được định nghĩa bởi:<ref>{{chú thích web|url=http://mathworld.wolfram.com/Curl.html|title=curl|accessdate = ngày 1 tháng 7 năm 2008 |publisher=Wolfram MathWorld}}</ref>

:<math>(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0} \frac{\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}{A}</math>

[[Tập tin:Curlorient.svg|200px|phải|nhỏ|Hướng của vector của tích phân đường]]

Ở đây <math>\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}</math> là tích phân đường dọc theo biên của vùng đang xét (i.e., <math>C=\partial \mathcal A</math>), và <math>\,A </math> là diện tích của <math>\mathcal A</math>. Nếu <math> \mathbf{\hat{\nu}} </math> là vectơ bán kính nằm trong mặt phẳng, mà <math>\mathbf{\hat{n}}</math>  là vectơ đơn vị vuông góc với mặt phẳng (xem hình bên), thì hướng của C được chọn sao cho vectơ <math>\mathbf{\hat{\omega}}</math> tiếp tuyến với C được định hướng dương nếu và chỉ nếu <math> \{\mathbf{\hat{n}},\mathbf{\hat{\nu}},\mathbf{\hat{\omega}}\} </math> tạo thành một hệ tọa độ  dương trong '''R'''<sup>3</sup> ([[quy luật bàn tay phải]]).

Công thức trên nghĩa là rot của một trường vecto được định nghĩa như là mật độ ''lưu chuyển'' của trường
đó. Theo đó

:<math>(\rm{rot\,}\,\mathbf F)\,_3=\frac{1}{a_1a_2}\cdot\left (\frac{\partial (a_2F_2)}{\partial u_1}-\frac{\partial (a_1F_1)}{\partial u_2}\right)\,.</math>

Nếu <math> (x_1,x_2,x_3) </math> là [[hệ tọa độ Descartes|tọa độ Cartesian]] và <math>(u_1,u_2,u_3)</math> là tọa độ  curvilinear, thì <math> a_i = \sqrt{\sum \limits_{j = 1}^{3}\left (\frac{\partial x_j}{\partial u_i}\right)^2}</math> là độ dài của vectơ tọa độ tương ứng với <math> u_i</math>. Hai thành phần còn lại của rot có thể tính từ phép hoán vị chỉ số: 3,1,2 -> 1,2,3 -> 2,3,1.

===Diễn giải theo trực giác===

Giả sử trường vectơ mô tả trường vận tốc của một dòng chảy (có thể là trong một bồn chứa nước lớn hay
bồn khí) và một quả bóng nhỏ được đặt trong chất lỏng hay khí (tâm của quả bóng được gắn chặt vào
một điểm nào đó). Nếu mặt quả bóng xù xì, nó sẽ xoay bởi chất lỏng chảy qua nó. Trục quay (theo quy tắc
bàn tay phải) sẽ chỉ hướng của rot của trường vecto tại tâm của quả bóng, và vận tốc góc sẽ bằng phân nửa giá trị của rot tại điểm đó.
 
Ngay cả khi các dòng chảy là song song, quả bóng có thể bắt đầu xoay nếu chất lỏng bên này chảy nhanh hơn bên kia.

== Sử dụng ==
Trong thực tế, định nghĩa trên ít được dùng vì trong tất cả mọi trường hợp, toán tử rot có thể được đơn giản hóa ngay trong cả trường hợp tọa độ curvilinear.

Ký hiệu <math> \vec{\nabla} \times \vec{F}</math> mặc dù không chính xác nhưng là dạng thường được sử dụng như là một dạng gợi nhớ trong [[hệ tọa độ Descartes|tọa độ Cartesian]] nếu ta xem <math>\nabla</math> là một toán tử vi phân vectơ [[del]] hoặc [[Ký hiệu Nabla|nabla]].

Khai triển trong [[hệ tọa độ Descartes|tọa độ Cartesian]] <math>\vec{\nabla} \times \vec{F} </math> là, cho ''F'' gồm 3 thành phần [''F''<sub>''x''</sub>, ''F''<sub>''y''</sub>, ''F''<sub>''z''</sub>]:

:<math>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>

mà trong đó '''i''', '''j''', và '''k''' là [[vectơ#Các khái niệm cơ bản|vectơ đơn vị]] của trục ''x''-, ''y''-, và ''z''. Công thức này được khai triển ra như sau:<ref>Arfken, p. 43.</ref>

:<math>\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>

Mặc dù được viết dưới hệ tọa độ, kết quả là không thay đổi nếu thay đổi hệ trục tọa độ nhưng kết quả sẽ nghịch đảo qua phép đối xứng.

Trong [[ký hiệu Einstein]], với [[ký hiệu Levi-Civita]] rot được viết là:

:<math>(\vec{\nabla} \times \vec{F})_k = \epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m</math>

hay là:

:<math>(\vec{\nabla} \times \vec{F}) = \boldsymbol{\hat{e}}_k\epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m</math>

với các vecto đơn vị:<math>\boldsymbol{\hat{e}}_k</math>, k=1,2,3 tương ứng với <math>\boldsymbol{\hat{x}}, \boldsymbol{\hat{y}}</math>, và <math> \boldsymbol{\hat{z}}</math>.

==Ví dụ==
===Một trường vector đơn giản===E=Xo(2x^2+3)-Yo(3y^3-4)+Zo(z+2)

===Ví dụ khó hơn===

===Hằng đẳng thức ===
Xét ví dụ '''∇ <big>×</big>''' [ '''v''' <big>×</big> '''F'''  ]. Sử dụng tọa độ Cartesian, ta có 
::<math>\mathbf{ \nabla \times} \left(\mathbf{v \times F} \right) = \left[ \left(\mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \right] \mathbf{v}- \left[ \left(\mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \right] \mathbf{F}</math>.

==Chú thích==
{{Tham khảo}}

==Tham khảo==
* Arfken, George B. and Hans J. Weber. ''Mathematical Methods For Physicists'', Academic Press; 6 edition (ngày 21 tháng 6 năm 2005). ISBN 978-0120598762.
* {{chú thích sách |author=Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn  |title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review |publisher=Dover Publications |location=New York |year= |pages=157–160 |isbn=0-486-41147-8 |oclc= |doi=}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/divcurl The idea of divergence and curl]

[[Thể loại:Giải tích vectơ]]
[[Thể loại:Hình học giải tích]]