Xem mã nguồn của Số Lucas

'''Số Lucas''' là một [[dãy số thực|dãy số]] được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học [[François Édouard Anatole Lucas]] (1842&ndash;1891), người đã nghiên cứu [[dãy Fibonacci|dãy số Fibonacci]], dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng [[tỷ lệ vàng|tỉ lệ vàng]].

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là ''L''<sub>0</sub> = 2 và ''L''<sub>1</sub> = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

:<math> 
 L_n:=
 \begin{cases}
 2 & \mbox{if } n = 1; \\
 1 & \mbox{if } n = 2; \\
 L_{n-1}+L_{n-2} & \mbox{if } n > 1. \\
 \end{cases}
 </math>

Các số đầu tiên của dãy Lucas:
:[[2 (số)|2]], [[1 (số)|1]], [[3 (số)|3]], [[4 (số)|4]], [[7 (số)|7]], [[11 (số)|11]], [[18 (số)|18]], [[29 (số)|29]], [[47 (số)|47]], [[76 (số)|76]], [[123 (số)|123]],... {{OEIS|id=A000032}}

==Số Lucas có chỉ số âm==

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại L<sub>n-2</sub> = L<sub>n</sub> - L<sub>n-1</sub> để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với <math>-5\leq{}n\leq5</math>): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11,...).

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):
*<math>L_{-n}=(-1)^nL_n.\!</math>

==Tính chất==

===Công thức tổng quát===
Công thức tổng quát của số Lucas:
:<math>L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\,,</math>

với <math>\varphi</math> bằng [[Tỷ lệ vàng|Tỉ lệ vàng]].

Một tính chất khá thú vị, <math>L_n</math> là số nguyên gần với <math>\varphi^n</math> nhất.

===Mối liên hệ với các số Fibonacci===
Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các [[hằng đẳng thức]] sau:
* <math>\,L_n = F_{n-2}+F_{n}</math>
* tổng quát hơn là công thức sau:
<math> L_n = F_{k+2}.L_{n-k} + F_{k+1}.L_{n-k-1}</math> với mọi k<n; (2.1)
{{hidden begin|title=Chứng minh}}

Chứng minh quy nạp.

k=0, thì công thức (2.1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (2.1) đúng đến k<n-1, ta chứng minh nó đúng với k+1, thật vậy:

<math> 
L_n 
</math>

<math>
= F_{k+2}.L_{n-k} + F_{k+1}.L_{n-k-1} 
</math>

<math>
= F_{k+2}.(L_{n-k-1}+L_{n-k-2}) + F_{k+1}.L_{n-k-1}
</math>

<math>
= (F_{k+2} + F_{k+1}).L_{n-k-1} + F_{k+2}.L_{n-k-2}
</math>

<math>
= F_{k+3}.L_{n-k-1} + F_{k+2}.L_{n-k-2}.
</math>

Vậy là (2.1) cũng đúng với k+1.

Suy ra điều phải chứng minh.

{{hidden end}}
* <math>\,L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n</math>, từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số <math>L_n \over F_n\,</math> tiến đến <math>\sqrt{5}\,</math> khi <math>n\,</math> tiến đến [[dương vô cùng|+∞]].
{{hidden begin|title=Chứng minh}}
Sử dụng công thức tổng quát.
{{hidden end}}
* <math>\,F_{2n} = L_n F_n</math>
{{hidden begin|title=Chứng minh}}
Chứng minh, sử dụng công thức tổng quát:

<math>
L_nF_n = (\varphi^n + (1-\varphi)^{n})({{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}) 
</math>

Rút gọn lại được:

<math>
L_nF_n =)({{\varphi^{2n}-(1-\varphi)^{2n}} \over {\sqrt 5}} = L_{2n} 
</math>
{{hidden end}}
* <math>\,F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}</math>
{{hidden begin|title=Chứng minh}}
Chứng minh bằng quy nạp theo n.
{{hidden end}}

===Khi chỉ số là số nguyên tố===
L<sub>n</sub> đồng dư với 1 mod n nếu n là [[số nguyên tố]]. Ngoài ra, L<sub>n</sub> cũng có tính chất này với một số trị khác của n.

===Tính chia hết giữa các số Lucas===
''L<sub>mn</sub>'' chia hết cho ''L<sub>n</sub>'' nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để ''L<sub>n</sub>'' là số nguyên tố.

{{hidden begin|title=Chứng minh}}
Sử dụng công thức tổng quát của <math>L_n</math>, để chứng minh hệ thức truy hồi sau:

<math>
L_{mn+2n} = L_{mn}.L_{2n} - L_{|mn-2n|} (1)
</math>

Từ đó suy ra:

<math>
L_{3n} = L_{n+2n} = L_{n}.L_{2n} - L_{n} 
</math>

Suy ra <math>L_{3n}</math> chia hết cho <math>L_{n}</math>.

Lại dùng công thức truy hồi (1), suy ra <math>L_{5n}</math> chia hết cho <math>L_{n}</math>.

Lặp lại thao tác trên k lần liên tiếp, suy ra <math>L_{(2k+1)n}</math> chia hết cho <math>L_{n}</math>, điều phải chứng minh.

{{hidden end}}

=== Số nguyên tố Lucas ===

'''Số nguyên tố Lucas''' là số Lucas, và đồng thời là một [[số nguyên tố|nguyên tố]]. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:
: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,... {{OEIS|id=A005479}}
Nếu ''L<sub>n</sub>'' là số nguyên tố thì ''n'' bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.<ref>Chris Caldwell, "[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LucasPrime The Prime Glossary: Lucas prime]" from The [[Prime Pages]].</ref>

Các số Lucas có dạng ''L<sub><math>2^m</math></sub>'' là số nguyên tố được biết cho đến nay là <math>m</math> = 1, 2,3 và 4.

== Đa thức Lucas ==
Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

<math>L_n(x) = \begin{cases}
2, & \mbox{if } n = 0 \\
x, & \mbox{if } n = 1 \\
x L_{n - 1}(x) + L_{n - 2}(x), & \mbox{if } n \geq 2
\end{cases}</math>

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:
:<math>L_0(x)=2 \,</math>
:<math>L_1(x)=x \,</math>
:<math>L_2(x)=x^2+2 \,</math>
:<math>L_3(x)=x^3+3x \,</math>
:<math>L_4(x)=x^4+4x^2+2 \,</math>
:<math>L_5(x)=x^5+5x^3+5x \,</math>
:<math>L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2 + 2 \,</math>

==Xem thêm==
*[[Dãy Fibonacci|Số Fibonacci]]

== Chú thích ==
{{Tham khảo}}
==Liên kết ngoài==
*{{MathWorld|urlname=LucasNumber|title=Lucas Number}}
*[http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html Dr Ron Knott]
*[http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html Lucas numbers and the Golden Section]
*[http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp A Lucas Number Calculator can be found here.]
*[http://nakedprogrammer.com/LucasNumbers.aspx A Tutorial on Generalized Lucas Numbers]

[[Thể loại:Dãy số]]
[[Thể loại:Số Fibonacci]]
[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]

[[de:Lucas-Folge]]