Xem mã nguồn của Số lập phương

[[Image:CubeChart.svg|thumb|280px|{{math|1=''y'' = ''x''<sup>3</sup>}} với giá trị {{math|1 ≤ ''x'' ≤ 25}}.]]

Trong số học, '''lập phương''' của một số ''n'' có nghĩa là nhân 3 lần giá trị của nó với nhau:
:{{math|size=120%|1=''n''<sup>3</sup> = ''n'' × ''n'' × ''n''}}.

Hay cũng có thể hiểu là lấy tích của nó với [[bình phương]] của nó:
:{{math|size=120%|1=''n''<sup>3</sup> = ''n'' × ''n''<sup>2</sup>}}.

Đây chính là công thức để tính thể tích cho một khối lập phương có chiều dài các cạnh là ''n''.
[[Tập tin:Hexahedron.gif|nhỏ|phải|250px|Khối lập phương]]

Lập phương là một hàm lẻ:
:{{math|size=120%|1=(−''n'')<sup>3</sup> = −(''n''<sup>3</sup>)}}.

Biểu đồ của hàm lập phương f: x → x3 (hoặc phương trình y = x3) được biết đến như là hình parabê hình khối. Bởi vì lập phương là một hàm số lẻ, đường cong này có một điểm đối xứng ở gốc, nhưng không có trục đối xứng.

==Lập phương của số nguyên==
Lập phương của các số nguyên từ 0 đến 60 là:{{OEIS|id=A000578}}:

{| style="text-align:right;"
| style="padding-left:2em;"| 0<sup>3</sup> = || 0
|-
| style="padding-left:2em;"| 1<sup>3</sup> = || 1
| style="padding-left:2em;"|11<sup>3</sup> = || 1331
| style="padding-left:2em;"|21<sup>3</sup> = || 9261
| style="padding-left:2em;"|31<sup>3</sup> = || 29,791
| style="padding-left:2em;"|41<sup>3</sup> = || 68,921
| style="padding-left:2em;"|51<sup>3</sup> = || 132,651
|-
| style="padding-left:2em;"| 2<sup>3</sup> = || 8
| style="padding-left:2em;"|12<sup>3</sup> = || 1728
| style="padding-left:2em;"|22<sup>3</sup> = || 10,648
| style="padding-left:2em;"|32<sup>3</sup> = || 32,768
| style="padding-left:2em;"|42<sup>3</sup> = || 74,088
| style="padding-left:2em;"|52<sup>3</sup> = || 140,608
|-
| style="padding-left:2em;"| 3<sup>3</sup> = || 27
| style="padding-left:2em;"|13<sup>3</sup> = || 2197
| style="padding-left:2em;"|23<sup>3</sup> = || 12,167
| style="padding-left:2em;"|33<sup>3</sup> = || 35,937
| style="padding-left:2em;"|43<sup>3</sup> = || 79,507
| style="padding-left:2em;"|53<sup>3</sup> = || 148,877
|-
| style="padding-left:2em;"| 4<sup>3</sup> = || 64
| style="padding-left:2em;"|14<sup>3</sup> = || 2744
| style="padding-left:2em;"|24<sup>3</sup> = || 13,824
| style="padding-left:2em;"|34<sup>3</sup> = || 39,304
| style="padding-left:2em;"|44<sup>3</sup> = || 85,184
| style="padding-left:2em;"|54<sup>3</sup> = || 157,464
|-
| style="padding-left:2em;"| 5<sup>3</sup> = || 125
| style="padding-left:2em;"|15<sup>3</sup> = || 3375
| style="padding-left:2em;"|25<sup>3</sup> = || 15,625
| style="padding-left:2em;"|35<sup>3</sup> = || 42,875
| style="padding-left:2em;"|45<sup>3</sup> = || 91,125
| style="padding-left:2em;"|55<sup>3</sup> = || 166,375
|-
| style="padding-left:2em;"| 6<sup>3</sup> = || 216
| style="padding-left:2em;"|16<sup>3</sup> = || 4096
| style="padding-left:2em;"|26<sup>3</sup> = || 17,576
| style="padding-left:2em;"|36<sup>3</sup> = || 46,656
| style="padding-left:2em;"|46<sup>3</sup> = || 97,336
| style="padding-left:2em;"|56<sup>3</sup> = || 175,616
|-
| style="padding-left:2em;"| 7<sup>3</sup> = || 343
| style="padding-left:2em;"|17<sup>3</sup> = || 4913
| style="padding-left:2em;"|27<sup>3</sup> = || 19,683
| style="padding-left:2em;"|37<sup>3</sup> = || 50,653
| style="padding-left:2em;"|47<sup>3</sup> = || 103,823
| style="padding-left:2em;"|57<sup>3</sup> = || 185,193
|-
| style="padding-left:2em;"| 8<sup>3</sup> = || 512
| style="padding-left:2em;"|18<sup>3</sup> = || 5832
| style="padding-left:2em;"|28<sup>3</sup> = || 21,952
| style="padding-left:2em;"|38<sup>3</sup> = || 54,872
| style="padding-left:2em;"|48<sup>3</sup> = || 110,592
| style="padding-left:2em;"|58<sup>3</sup> = || 195,112
|-
| style="padding-left:2em;"| 9<sup>3</sup> = || 729
| style="padding-left:2em;"|19<sup>3</sup> = || 6859
| style="padding-left:2em;"|29<sup>3</sup> = || 24,389
| style="padding-left:2em;"|39<sup>3</sup> = || 59,319
| style="padding-left:2em;"|49<sup>3</sup> = || 117,649
| style="padding-left:2em;"|59<sup>3</sup> = || 205,379
|-
| style="padding-left:2em;"|10<sup>3</sup> = || 1000
| style="padding-left:2em;"|20<sup>3</sup> = || 8000
| style="padding-left:2em;"|30<sup>3</sup> = || 27,000
| style="padding-left:2em;"|40<sup>3</sup> = || 64,000
| style="padding-left:2em;"|50<sup>3</sup> = || 125,000
| style="padding-left:2em;"|60<sup>3</sup> = || 216,000
|}

Nói theo hình học, một số nguyên dương ''m'' là một số lập phương hoàn hảo nếu và chỉ khi nào có thể sắp xếp các khối hình khối rắn thành một khối rắn lớn hơn. Ví dụ, 27 khối nhỏ có thể được sắp xếp thành một khối lớn hơn với sự xuất hiện của một khối rubic lập phương, từ 3 × 3 × 3 = 27.

Sự chênh lệch giữa lập phương của các số nguyên liên tiếp có thể được biểu diễn như sau:
:{{math|size=120%|1=''n''<sup>3</sup> − (''n'' − 1)<sup>3</sup> = 3(''n'' − 1)''n'' + 1}}.

hoặc

:{{math|size=120%|1=(''n'' + 1)<sup>3</sup> − ''n''<sup>3</sup> =  3(''n'' + 1)''n'' + 1}}.

Không có số âm nào là số lập phương hoàn hảo, vì lập phương của một số âm là số âm. Ví dụ, −4 × −4 × −4 = −64.

Chữ số tận cùng của lập phương số có chữ số tận cùng là 0-9:

0	1	8	7	4	5	6	3	2	9

==Tổng của lập phương ''n'' số đầu tiên==
Tổng của lập phương ''n'' số đầu tiên bằng bình phương của tổng ''n'' số đầu tiên:
:<math>1^3+2^3+\dots+n^3 = (1+2+\dots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.</math>    (1)

Công thức của [[Charles Wheatstone]] (1854):
:<math>n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n \text{ so le lien tiep}}.</math>
Để chứng minh công thức (1) chúng ta có thể dùng cách sau:
:<math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 + \cdots + n^3 \\
&= \underbrace{1}_{1^3} + \underbrace{3+5}_{2^3} + \underbrace{7 + 9 + 11}_{3^3} + \underbrace{13 + 15 + 17 + 19}_{4^3} + \cdots + \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n^3} \\
&= \underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{1}_{1^2} + 3}_{2^2} + 5}_{3^2} + \cdots + \left(n^2 + n - 1\right)}_{\left(\frac{n^{2}+n}{2} \right)^{2}} \\
&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\
&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.
\end{align}</math>

===Tổng của lập phương ''n'' số nguyên lẻ đầu tiên===
Tổng của lập phương ''n'' số nguyên lẻ đầu tiên được tính theo công thức sau:
:<math>1^3+3^3+\dots+(2y-1)^3 = (xy)^2</math> 
Trong đó x,y phải thỏa mãn phương trình Pell {{math|''x''{{sup|2}} − 2''y''{{sup|2}} {{=}} −1}}. Ví dụ cho:{{math|1=''y'' = 5}} và {{math|29}}:
:<math>1^3+3^3+\dots+9^3 = (7\cdot 5)^2 </math>

:<math>1^3+3^3+\dots+57^3 = (41\cdot 29)^2</math>

==Số thực, số phức==
Cho hàm x ↦ x3: '''R → R'''. Chỉ có ba số bằng các khối của riêng mình: -1, 0, và 1. Nếu -1 <x <0 hoặc 1 <x, thì x<sup>3</sup>> x. Nếu x <-1 hoặc 0 <x <1, thì x<sup>3</sup> <x. Tính chất nói trên cũng đúng với bất kỳ số mũ lẻ cao hơn (x<sup>5</sup>, x<sup>7</sup>,...) của số thực.

Với những số phức, lập phương của một số thuần ảo là: {{math|1=[[imaginary unit|''i'']]<sup>3</sup> = −''i''}}.

==Lịch sử==
Các nhà toán học [[Lưỡng Hà]] đã tạo ra các viên nén hình nêm với các bàn để tính các khối lập phương và các khối lập phương theo thời kỳ Babylon (thế kỷ XX đến XVI TCN)<ref>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=The History of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63|date=8 November 2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|page=63}}</ref><ref name="nen">{{cite book|last= Nemet-Nejat|first=Karen Rhea|title=Daily Life in Ancient Mesopotamia|url=https://books.google.com/books?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306|year=1998|publisher=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-29497-6|page=306}}</ref>. Phương trình bậc ba được nhà toán học người Hy Lạp cổ là [[Diophantus]] biết đến.<ref>Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich  1983 {{ISBN|0-387-12159-5}}</ref> Anh hùng của Alexandria đã nghĩ ra một phương pháp tính toán cội nguồn của lập phương vào thế kỷ đầu tiên của Công Nguyên<ref>{{cite journal|last=Smyly|first=J. Gilbart|title=Heron's Formula for Cube Root|journal=Hermathena|year=1920|volume=19|issue=42|pages=64–67|publisher=Trinity College Dublin|jstor=23037103}}</ref>. Phương pháp giải [[phương trình]] bậc ba và phép khai căn bậc ba xuất hiện trong [[cửu chương toán thuật]], công trình [[toán học Trung Quốc]] được biên soạn vào khoảng thế kỷ thứ II trước công nguyên, được [[Lưu Huy]] chú giải vào thế kỷ thứ III của Công nguyên<ref name="oxf">{{cite book|last=Crossley|first=John|last2=W.-C. Lun|first2=Anthony|title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary|url=https://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA213|year=1999|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|pages=176, 213}}</ref>. Nhà toán học người [[Ấn Độ]], [[Aryabhata]] đã viết một lời giải thích về lập phương trong nghiên cứu của ông. Trong năm 2010 Alberto Zanoni đã tìm ra một thuật toán mới<ref>http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/</ref> để tính toán lập phương của một số nguyên dài trong một phạm vi nhất định, nhanh hơn gấp đôi.

==Tham khảo==

[[Thể loại:Đại số]]
[[Thể loại:Toán học sơ cấp]]