Xem mã nguồn của Túc thừa

{{distinguish|titration}}
[[Image:TetrationComplexColor.png|thumb|border|268px|[[Miền tô màu]] của [[Hàm chỉnh hình|chỉnh hình]] túc thừa <math>{}^{z}e</math>, với [[hoá sắc]] đại diện cho hàm [[Đối số (Phân tích phức tạp)|đối số]] và [[độ sáng]] đại diện cho độ lớn]]
[[Image:TetrationConvergence2D.svg|thumb|<math>{}^{n}x</math>, cho {{math|1=''n'' = 2, 3, 4, …}}, cho thấy sự hội tụ đến số mũ lặp lại vô hạn giữa hai dấu chấm]]

Trong [[toán học]], '''túc thừa''' còn gọi là '''siêu luỹ thừa''' hoặc '''vi thừa bậc 4''' trong [[hệ vi thừa]] ([[tiếng Anh]]: '''tetration''' hoặc '''hyper-4''') là một [[phép toán]] dựa trên [[phép lặp]] hoặc sự lặp lại của [[Lũy thừa|luỹ thừa]]. Đây là bậc [[Hệ vi thừa|vi thừa]] tiếp theo sau [[Lũy thừa|luỹ thừa]], nhưng trước [[thụ thừa]]. Từ này được đặt ra bởi [[Reuben Louis Goodstein]] từ chữ [[túc]] (tetra nghĩa là bốn) và thừa (iteration nghĩa là [[phép lặp]]).

Theo định nghĩa như lũy thừa lặp đi lặp lại, ký hiệu <math>{^{n}a}</math> có nghĩa là <math>{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}</math>, trong đó, ''{{Mvar|n}}'' là số lần của ''{{Mvar|a}}'' được lặp lại thông qua phép luỹ thừa, từ phải sang trái. Điều đó có nghĩa là nếu ứng dụng trên tầng thứ 2 của luỹ thừa thì số lần lặp còn <math>n-1</math> lần. ''{{Mvar|n}}'' được gọi là "tham số chiều cao" hay "số triện" của hàm, trong khi, ''{{Mvar|a}}'' được gọi là "cơ số", tương tự như luỹ thừa. Nó sẽ được đọc là "túc thừa bậc {{Mvar|n}} của {{Mvar|a}}" hay "{{Mvar|a}} triện {{Mvar|n}}".

Túc thừa cũng được định nghĩa đệ quy như

<math>{^{n}a} := \begin{cases} 1 &\text{nếu }n=0 \\ a^{\left(^{(n-1)}a\right)} &\text{nếu }n>0 \end{cases} </math>

cho phép các sự nỗ lực mở rộng ra ngoài số tự nhiên chẳng hạn như số thực hoặc số phức.

Hai phép toán nghịch đảo của phép túc thừa được gọi là '''siêu căn''' và [[Siêu đối thừa|'''siêu đối thừa''']] ('''siêu logarit'''), tương tự như căn bậc n và hàm logarit. Không có hàm nào trong ba hàm này là [[hàm số sơ cấp]].

Túc thừa được sử dụng cho [[ký hiệu số lớn]].

==Giới thiệu==
Dưới đây là bốn bậc phép toán ([[Hệ vi thừa|vi thừa]]) đầu tiên, túc thừa được coi là phép toán thứ tư trong số đó. [[Phép toán một ngôi]] [[tiết triển]], được định nghĩa là <math>a' = a + 1</math>, được gọi là vi thừa bậc 0.

#[[Phép cộng]]
#:<math>a + n = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n</math>
#::{{Mvar|n}} là số lần tiết triển của {{Mvar|a}}
#[[Phép nhân]]
#:<math>a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n</math>
#::{{Mvar|n}} là số lần cộng của {{Mvar|a}}
#[[Lũy thừa|Luỹ thừa]]
#:<math>a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n</math>
#::{{Mvar|n}} là số lần nhân của {{Mvar|a}}
#Túc thừa
#:<math>{^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n</math><references group="gfg" />
#::{{Mvar|n}} là số tầng luỹ thừa của {{Mvar|a}}, tính phải sang trái.<ref name="mathvault">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/derivative-tetration-hyperexponentiation/|title=Derivative of $x^x$, $x^{x^x}$, and a Venture Into Tetration and Hyper-Exponentiation|date=2016-01-01|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-07-25}}</ref>

Phép tiết triển, {{math|(''a′'' {{=}} ''a'' + 1)}} là phép toán cơ bản nhất. Ngoài ra, phép cộng ({{math|''a'' + ''n''}}) là một phép toán chính, ngoài phép cộng của các số tự nhiên nó có thể được coi là một chuỗi các tiết triển của {{mvar|n}} và tiết triển của {{mvar|a}}, phép nhân {{math|(''a'' × ''n''}}) cũng là một phép toán chính, đối với các số tự nhiên nó có thể tương tự được coi là một chuỗi các phép cộng đến {{mvar|n}} lần theo số {{mvar|a}}. Luỹ thừa (<math>a^n</math>) có thể được coi là một chuỗi phép nhân đến {{mvar|n}} lần theo số {{mvar|a}} và và túc thừa (<math>^{n}a\!</math>) có thể được coi là một chuỗi các mũ đến {{mvar|n}} lần theo số {{mvar|a}}. Mỗi thao tác ở trên được định nghĩa bằng cách lặp lại cái trước đó, tuy nhiên, không giống như các thao tác trước nó, túc thừa không phải là một [[Hàm số sơ cấp|phép toán cơ bản]].

Tham số a có thể được gọi là tham số cơ sở, trong khi tham số n trong túc thừa có thể được gọi là tham số chiều cao hoặc gọi đơn giản là [[số triện]] (không thể tách rời trong cách tiếp cận đầu tiên nhưng có thể được khái quát hóa thành tham số chiều cao cho các giá trị [[phân số]], [[số thực]] và [[số phức]].

Đối với mọi [[số thực]] dương <math> a > 0 </math> và [[số nguyên]] dương <math> n \ge 0 </math>, ta có thể định nghĩa <math>\,\! {^{n}a} </math> đệ quy như sau:
:<math>{^{n}a} := \begin{cases} 1 &\text{nếu }n=0 \\ a^{\left(^{(n-1)}a\right)} &\text{nếu }n>0 \end{cases} </math>

Định nghĩa này tương đương với độ lặp lại cho số triện n [[Số tự nhiên|tự nhiên]], tuy nhiên nó cũng cho phép mở rộng lên các số triện khác chẳng hạn như <math>^{0}a</math>, <math>^{-1}a</math>, and <math>^{i}a</math>.

==Thuật ngữ==
Có nhiều thuật ngữ cho phép túc thừa, mỗi thuật ngữ đều có sự logic đằng sau nó, nhưng một số thuật ngữ thì không được sử dụng phổ biến vì lý do này hay vì lý do khác. Dưới đây là so sánh của mỗi thuật ngữ với cơ sở lý luận và phản biện của nó.
* Thuật ngữ ''túc thừa'', được giới thiệu bởi Goodstein trong bài báo ''Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory''<ref>{{cite journal|author=R. L. Goodstein|title=Transfinite ordinals in recursive number theory|jstor=2266486|journal=Journal of Symbolic Logic|volume=12|year=1947|issue=4|doi=10.2307/2266486|pages=123–129}}</ref> của mình năm 1947  (khái quát hóa biểu diễn cơ sở đệ quy được sử dụng trong [[định lý Goodstein]] để sử dụng các phép toán cao hơn), đã giành được ưu thế. Nó cũng được phổ biến trong cuốn ''[[Infinity and the Mind]]'' của nhà toán học [[Rudy Rucker]].
*Thuật ngữ ''siêu luỹ thừa'' ''(superexponentiation)'' đã được Bromer xuất bản trong bài báo ''Superexponentiation'' của anh ấy năm 1987.<ref>{{cite journal |author=N. Bromer |title=Superexponentiation |journal=Mathematics Magazine |volume=60 |issue=3 |year=1987 |pages=169–174 |jstor=2689566}}</ref> Nó đã được Ed Nelson sử dụng trước đó trong cuốn sách [[Dự đoán số học]], Nhà xuất bản Đại học Princeton, 1986.
*Thuật ngữ ''siêu mũ (hyperpower)''<ref>{{cite journal |author=J. F. MacDonnell |title=Somecritical points of the hyperpower function <math>x^{x^{\dots}}</math> |journal=International Journal of Mathematical Education |year=1989 |volume=20 |issue=2 |pages=297–305 |mr=994348 |url=http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm |doi=10.1080/0020739890200210}}</ref> là sự kết hợp tự nhiên của từ ''siêu (hyper)'' và từ ''mũ (power)'', mô tả một cách khéo léo túc thừa. Nhưng vấn đề là chữ ''siêu'' giống với chữ siêu trong dãy vi thừa (hyperoperation). Khi xem xét hệ vi thừa, thì thuật ngữ siêu đều đề cập đến tất cả các bậc của nó, nhưng thuật ngữ siêu lại có trong bậc 4, tức túc thừa. Vì vậy, theo những cân nhắc này ''siêu mũ'' là sự sai lệch, do nó chỉ đề cập đến túc thừa mà thôi.
*Thuật ngữ ''tháp mũ (power tower)''<ref>{{MathWorld |urlname=PowerTower |title=Power Tower}}</ref> đôi khi cũng được sử dụng, ở dạng "tháp mũ bậc {{mvar|n}}" cho <math>{\ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop n}</math>. Tuy nhiên, đây là một cách gọi sai bởi vì túc thừa không thể được biểu thị bằng các hàm ''mũ'' lặp lại (xem ở trên), vì nó là một hàm luỹ thừa lặp.

Do một phần thuật ngữ được chia sẻ và ký hiệu tượng trưng tương tự, túc thừa thường xuyên bị nhầm lẫn với các chức năng và biểu thức liên quan. Dưới đây là một số thuật ngữ liên quan:

:{|class="wikitable"
! Mẫu
! Thuật ngữ
|-
|<math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}}</math>
|Túc thừa
|-
|<math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}</math>
|Số mũ lặp
|-
|<math>a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}</math>
|Số mũ lồng (Cũng gọi là tháp mũ)
|-
|<math>a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}</math>
|Số mũ vô hạn (Cũng gọi là tháp mũ)
|}

Trong hai biểu thức đầu tiên {{mvar|a}} là ''cơ số'', và các tầng giá trị {{mvar|a}} là chiều cao (thêm một tầng cho giá trị {{mvar|x}}). Trong biểu thức thứ ba, {{mvar|n}} là chiều cao, nhưng mỗi tầng lại có giá trị khác nhau.

Cần lưu ý khi đề cập đến số mũ lặp, vì đôi khi thường gọi mẫu này là luỹ thừa lặp, đó là điều mơ hồ bởi vì nó có thể đề cập đến số mũ lặp hay luỹ thừa lặp.

==Kí hiệu==
Có rất nhiều kiểu ký hiệu khác nhau để mô tả túc thừa. Một số ký hiệu cũng có thể được sử dụng để mô tả các cấp vi thừa khác, có những ký hiệu không chỉ dừng lại ở túc thừa mà còn có thể được sử dụng để mô tả các bậc vi thừa cao hơn như (thụ thừa, hyper-6, hyper-7, v.v.)
:{|class="wikitable"
! Tên ký hiệu
! Mẫu
! Mô tả
|-
| Ký hiệu Rudy Rucker
| <math>\,{}^{n}a</math>
| Được sử dụng bởi Maurer năm 1901 và Goodstein năm 1947, Cuốn ''[[Infinity and the Mind]]'' của [[Rudy Ruck]] phổ biến các ký hiệu.
|-
|[[Ký hiệu Mũi tên lên Knuth]]
| <math>a {\uparrow\uparrow} n</math>
| Cho phép mở rộng bằng cách đặt nhiều mũi tên hơn, hoặc thậm chí mạnh hơn, một mũi tên được lập chỉ mục.
|-
|[[Ký hiệu Mũi tên xích Conway]]
| <math>a \rightarrow n \rightarrow 2</math>
| Cho phép mở rộng bằng cách tăng số 2 (tương đương với các ký hiệu mở rộng ở trên), nhưng, thậm chí nó còn mạnh mẽ hơn, bằng cách mở rộng chuỗi
|-
|[[Hàm Ackermann]]
| <math>{}^{n}2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3</math>
| Cho phép trường hợp đặc biệt <math>a=2</math> được viết dưới dạng hàm Ackermann.
|-
| Ký hiệu Số mũ lặp
| <math>\exp_a^n(1)</math>
| Cho phép mở rộng đơn giản cho số mũ lặp từ các giá trị ban đầu khác với 1.
|-
| Ký hiệu Hooshmand<ref name="uxp">
 {{cite journal
  | author=M. H. Hooshmand,
  | year=2006
  | title=Ultra power and ultra exponential functions
  | journal=[[Integral Transforms and Special Functions]]
  | volume=17
  | issue=8
  | pages=549–558
  | doi= 10.1080/10652460500422247
 }}</ref>
| <math>\begin{align}
  &\operatorname{uxp}_a n \\[2pt]
  &a^{\frac{n}{}}
\end{align}</math>
| Được sử dụng bởi M. H. Hooshmand năm 2006.
|-
| Ký hiệu [[Hệ vi thừa|Vi thừa]]
| <math>\begin{align}
  &a [4] n \\[2pt]
  &H_4(a, n)
\end{align}</math>
| Cho phép mở rộng bằng cách tăng số 4 lên số lớn hơn để mô tả các vi thừa bậc cao hơn.
|-
| Ký hiệu Caret đôi
| <code>a^^n</code>
| Vì mũi tên lên được sử dụng giống hệt với dấu mũ (<code>^</code>), nên phép túc thừa được viết là (<code>^^</code>); thuận tiện cho [[ASCII]].
|-
|[[Toán tử Bowers]]
| {{ubl
 | {a,b,4}
 | {a,b,4,1}
 | a {4} b
 }}
|Tương tự như ký hiệu vi thừa.
|}

Một ký hiệu ở trên sử dụng ký hiệu số mũ lặp, điều này được định nghĩa chung như sau:

:<math>\exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}</math> với {{mvar|n}} là số tầng của {{mvar|a}}.

Không có nhiều ký hiệu cho số mũ lặp, dưới đây là một vài ký hiệu được sử dụng để mô tả chỉ số lặp:

:{| class="wikitable"
! Tên ký hiệu
! Mẫu
! Mô tả
|-
| Ký hiêu tiêu chuẩn
|<math>\exp_a^n(x)</math>
|[[Leonhard Euler|Euler]] đặt ra ký hiệu <math>\exp_a(x) = a^x</math>, đặt  <math>f(x)=\exp_a(x)</math>, sau đó <math>\exp_a^n(x)</math>có thể được biểu diễn dưới dạng [[ký hiệu lặp]] <math>f^n(x)</math>.
|-
| Ký hiệu Mũi tên lên Knuth
|<math>(a{\uparrow})^n(x)</math>
| Cho phép tăng số lượng mũi tên để diễn tả độ mạnh (túc thừa) và siêu mũ (số mũ lặp), nó thường được sử dụng với số lượng lớn.
|-
| Ký hiệu văn bản
|{{code|2=tex|exp_a^n(x)}}
| Dựa trên ký hiệu chuẩn, thuận tiện cho [[ASCII]].
|-
| Ký hiệu J
|{{code|2=j|x^^:(n-1)x}}
| Lặp lại phép luỹ thừa. Xem [[J (ngôn ngữ lập trình)]]<ref>{{cite web|title=Power Verb|url=http://www.jsoftware.com/help/dictionary/d202n.htm|work=J Vocabulary|publisher=J Software|accessdate=28 October 2011}}</ref>
|}

==Thí dụ==
Bởi vì túc thừa có sự gia tăng nhanh chóng, hầu hết các giá trị trong bảng sau đây là quá lớn để viết bằng ký hiệu khoa học. Trong những trường hợp này, ký hiệu số mũ lặp được sử dụng để thể hiện chúng trong cơ số 10. Các giá trị chứa [[dấu thập phân]] là gần đúng.

:{| class="wikitable"
! <math>x</math>
! <math>{}^{2}x</math>
! <math>{}^{3}x</math>
! <math>{}^{4}x</math>
|- align=right
| 1
| 1
| 1
| 1
|- align=right
| 2
| 4
| 16
| 65,536
|- align=right
| 3
| 27
| 7,625,597,484,987
| <math>\exp_{10}^3(1.09902)</math>
|- align=right
| 4
| 256
| <math>\exp_{10}^2(2.18788)</math>
| <math>\exp_{10}^3(2.18726)</math>
|- align=right
| 5
| 3,125
| <math>\exp_{10}^2(3.33931)</math>
| <math>\exp_{10}^3(3.33928)</math>
|- align=right
| 6
| 46,656
| <math>\exp_{10}^2(4.55997)</math>
| <math>\exp_{10}^3(4.55997)</math>
|- align=right
| 7
| 823,543
| <math>\exp_{10}^2(5.84259)</math>
| <math>\exp_{10}^3(5.84259)</math>
|- align=right
| 8
| 16,777,216
| <math>\exp_{10}^2(7.18045)</math>
| <math>\exp_{10}^3(7.18045)</math>
|- align=right
| 9
| 387,420,489
| <math>\exp_{10}^2(8.56784)</math>
| <math>\exp_{10}^3(8.56784)</math>
|- align=right
| 10
| 10,000,000,000
| <math>\exp_{10}^3(1)</math>
| <math>\exp_{10}^4(1)</math>
|}

==Tính chất==
Túc thừa có những tính chất tương tự như luỹ thừa, cũng như các thuộc tính cụ thể dành riêng cho nó và bị mất hoặc thu được từ lũy thừa. Bởi vì luỹ thừa không có [[Tính giao hoán|tính chất giao hoán]], kết quả và quy tắc không có sự tương tự với túc thừa, các câu <math display="inline">{}^a \left({}^b x\right) = \left({}^{ab} x\right)</math> and <math display="inline">{}^a \left(xy\right) = {}^a x {}^a y</math> không nhất thiết đúng với mọi trường hợp.<ref>Alexander Meiburg. (2014). [http://web.math.ucsb.edu/~padraic/ucsb_2013_14/mathcs103_s2014/mathcs103_s2014_alex_presentation.pdf Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower] Retrieved November 29, 2018</ref>

Tuy nhiên, túc thừa theo một tính chất khác, trong đó <math display="inline">{}^a x = x^{\left({}^{a-1} x\right)}</math>. Sự thật này được thể hiện rõ nhất bằng cách sử dụng định nghĩa đệ quy. Từ thuộc tính này, một mệnh đề theo sau <math>\left({}^b a\right)^{\left({}^c a\right)} = \left({}^{c+1} a\right)^{\left({}^{b-1} a\right)}</math>, cho phép chuyển đổi ''b'' và ''c'' trong các phương trình nhất định. Mệnh đề như sau:
: <math>\begin{align}
      &\left({}^b a\right)^{\left({}^c a\right)}         \\
  ={} &\left(a^{{}^{b-1} a}\right)^{\left({}^c a\right)} \\
  ={} &a^{\left({}^{b-1} a\right)\left({}^c a\right)}    \\
  ={} &a^{\left({}^c a\right)\left({}^{b-1} a\right)}    \\
  ={} &\left({}^{c+1} a\right)^{\left({}^{b-1} a\right)}
\end{align}</math>
Khi một số {{mvar|x}} và 10 là [[số nguyên tố cùng nhau]], có thể tính các chữ số thập phân {{mvar|m}} cuối cùng của <math>\,\!\ ^{a}x</math> bằng định lý Euler, cho bất kỳ số nguyên {{mvar|m}}.

===Hướng đánh giá===
Khi đánh giá túc thừa thể hiện như một "tháp luỹ thừa", lũy thừa được thực hiện ở cấp độ sâu nhất trước tiên<ref>{{Cite web|url=https://mathvault.ca/derivative-tetration-hyperexponentiation/|title=Derivative of $x^x$, $x^{x^x}$, and a Venture Into Tetration and Hyper-Exponentiation|date=2016-01-01|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-07-25}}</ref> (trong ký hiệu, ở đỉnh). Ví dụ:
:<math>\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65,\!536</math>

Thứ tự này rất quan trọng vì lũy thừa không có [[tính kết hợp]], và đánh giá biểu thức theo thứ tự ngược lại sẽ dẫn đến một câu trả lời khác:
:<math>\,\! 2^{2^{2^2}} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 4^{2 \cdot2} = 256</math>

Đánh giá biểu thức từ trái sang phải được coi là ít thú vị hơn, đánh giá từ trái sang phải, mọi biểu thức <math>^{n}a\!</math> có thể được đơn giản hóa thành <math>a^{\left(a^{n-1}\right)}\!\!</math>.<ref name="tetration extensions">{{citeweb |url=http://www.mpmueller.net/reihenalgebra.pdf |last=Müller |first= M. |title= Reihenalgebra: What comes beyond exponentiation? |accessdate= 12 December 2018}}</ref> Bởi vì điều này, các tháp phải được đánh giá từ phải sang trái (hoặc từ trên xuống dưới). Lập trình viên máy tính nhắc đến sự lựa chọn này như [[liên kết đúng]].

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

==Nguồn tham khảo==
* Daniel Geisler, ''[http://www.iteratedfunctions.com/ iteratedfunctions.com]''
* Ioannis Galidakis, ''[https://web.archive.org/web/20090520164620/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/exponents4.html On extending hyper4 to nonintegers]'' (undated, 2006 or earlier) ''(A simpler, easier to read review of the next reference)''
* Ioannis Galidakis, ''[https://web.archive.org/web/20060525195301/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/papers/Extensions.pdf On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals]'' (undated, 2006 or earlier).
* Robert Munafo, ''[http://mrob.com/pub/math/hyper4.html#real-hyper4 Extension of the hyper4 function to reals]'' ''(An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)''
* Lode Vandevenne, ''[http://groups.google.com/group/sci.math/browse_frm/thread/39a7019f9051c5d7/8c1c4facb7e4bd6d#8c1c4facb7e4bd6d Tetration of the Square Root of Two]'', (2004). ''(Attempt to extend tetration to real numbers.)''
* Ioannis Galidakis, ''[https://web.archive.org/web/20090420132250/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/index.html Mathematics]'', ''(Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)''
* Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html Power Tower]
* Joseph MacDonell, ''[http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm Some Critical Points of the Hyperpower Function]''.
* Dave L. Renfro, ''[http://mathforum.org/discuss/sci.math/t/350321 Web pages for infinitely iterated exponentials]''
* {{cite journal | author = Knobel R | year = 1981 | title = Exponentials Reiterated | url = | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 88 | issue = | pages = 235–252 }}
* Hans Maurer, "Über die Funktion <math>y=x^{[x^{[x(\cdots)]}]}</math> für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." ''Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg'' '''4''', (1901), p.&nbsp;33–50. ''(Reference to usage of <math>\ {^{n} a}</math> from Knobel's paper.)''

==Xem thêm==
* [[Hàm Ackermann]]
* [[Ký hiệu O lớn]]
* [[Hàm Luỹ thừa đôi]]
* [[Hệ vi thừa]]
*[[Logarit lặp|Đối thừa lặp (Logarit lặp)]]
* [[Thụ thừa]]

[[Thể loại:Lý thuyết số]]
[[Thể loại:Toán học tổ hợp]]
[[Thể loại:Phép toán hai ngôi]]