Xem mã nguồn của Tập lồi

{{chú thích trong bài}} 
Trong [[không gian Euclide]], một tập hợp được gọi là '''lồi''' nếu lấy hai [[điểm]] tùy ý thuộc vật thể thì [[đoạn thẳng]] nối hai điểm ấy cũng sẽ thuộc vật thể đó. Ví dụ, một [[khối lập phương]] đặc ruột là một vật thể lồi, nhưng bất kỳ vật thể nào rỗng ruột hoặc có vết lõm thì không lồi.

==Các tập lồi==
[[Tập tin:Convex polygon illustration1.svg|phải|nhỏ|Tập lồi.]]
[[Tập tin:Convex polygon illustration2.svg|phải|nhỏ|Tập không lồi (lõm).]]

Giả sử ''C'' là một tập trong một [[không gian vectơ|không gian vector]] [[thực]] hay [[số phức|phức]]. ''C'' được gọi là '''lồi''' nếu với mọi ''x'' và ''y'' thuộc ''C'' và với mọi ''t'' trong [[khoảng]][0,1], điểm

:(1 &minus; ''t'') ''x'' + ''t y''

cũng thuộc ''C''. Nói cách khác, mọi [[điểm]] trên [[đoạn thẳng]] nối ''x'' và ''y'' đều thuộc ''C''. Điều này cũng dẫn đến kết luận: tập lồi trong không gian véc-tơ tô-pô thì [[tập hợp liên thông|liên thông]], thậm chí là [[đơn liên]].

Tập ''C'' được gọi là '''lồi tuyệt đối''' nếu nó lồi và [[cân bằng]]{{cần chú thích}}.

Tập con lồi của '''R''' (tập số thực) chẳng qua là các [[khoảng]] của '''R'''. Một vài ví dụ về tập con lồi trong [[không gian Euclide]] 2 chiều là các [[đa giác đều]] và các [[vật thể có chiều rộng hằng số]]. Một vài ví dụ về tập con lồi trong [[không gian Euclide]] 3 chiều là các [[khối Archimede]] và các [[khối Platon]]. Các [[khối Kepler-Poinsot]] là ví dụ về các tập không lồi.

*[[Tập lồi đóng]]: tập lồi bao gồm cả "biên".
*[[Tập lồi mở]]: tập lồi không chứa "biên".

===Tính chất của tập lồi===

Giả sử <math>S</math> là một tập lồi, <math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math> là các điểm thuộc <math>S</math>, và <math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r</math> là các số [[không âm]] bất kỳ sao cho <math>\textstyle\sum_{k=1}^r\lambda=1</math>, thì tổ hợp lồi <math>\textstyle\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math> cũng thuộc <math>S</math>.

[[Phép giao|Giao]] của một số bất kỳ tập lồi cũng là một tập lồi, vì vậy tất cả các tập con lồi của một [[không gian vectơ]] tạo nên một [[lưới]] [[đầy đủ]]. Điều này cũng có nghĩa là bất kỳ một tập con ''A'' nào của [[không gian vectơ]] cũng có thể được chứa trong một tập lồi nhỏ nhất (gọi là [[bao lồi]] của ''A''), mà tập lồi này cũng chính là [[phép giao|giao]] của tất cả các tập lồi chứa ''A''.

==[[Tập hình sao]]==
[[Tập tin:Star-kernel.svg|nhỏ|Mọi điểm trong phần tô màu đỏ đều có thể là điểm <math>x_0</math> thỏa mãn điều kiện lồi sao]]
<gallery>
Image:Star domain.svg|Tập hình sao nhưng lại không phải là tập lồi
Image:Not-star-shaped.svg|Hình vành khuyên không phải là tập lồi sao vì không tồn tại điểm <math>x_0</math> nào thỏa mãn điều kiện lồi sao
</gallery>
Giả sử ''C'' là một [[không gian vectơ|không gian vector]] thực hay phức. ''C'' được gọi là '''hình sao''' nếu tồn tại ít nhất một điểm <math>x_0</math> thuộc ''C'' sao cho đoạn thẳng nối <math>x_0</math> đến điểm bất kỳ ''y'' thuộc ''C'' cũng được chứa trong ''C''. Do đó một tập lồi luôn luôn là hình sao nhưng một tập hình sao chưa chắc là tập lồi.

==[[Hình học phi Euclid|Hình học phi-Euclide]]==
Định nghĩa về tập lồi và [[bao lồi]] có thể được mở rộng một cách tự nhiên trong [[hình học phi Euclid]]e, hay tổng quát hơn, trong các đa tạp Riemann, bằng cách định nghĩa tập lồi là tập chứa mọi [[đường trắc địa]] nối hai điểm bất kỳ trong tập đó.

==Tính lồi tổng quát==
Khái niệm tính lồi trong [[không gian Euclide]] có thể được tổng quát hóa bằng cách sửa đổi định nghĩa ở một vài khía cạnh. Khi đó, người ta gọi chung chúng là "tính lồi tổng quát", vì sau khi sửa đổi, các đối tượng hình thành vẫn còn giữ được một số tính chất đã biết của tập lồi.

===Tính lồi trực giao===
Một ví dụ về tính lồi tổng quát là '''tính lồi trực giao'''.

Một tập ''S'' trong [[không gian Euclide]] được gọi là '''lồi trực giao''', nếu bất kỳ đoạn thẳng nào song song với một trong các trục tọa độ và nối hai điểm của ''S'' thì đoạn thẳng đó phải nằm trong ''S''. Dễ dàng chứng minh rằng [[phép giao|giao]] của một số bất kỳ các tập lồi trực giao cũng là tập lồi trực giao. Ngoài ra, tập lồi trực giao cũng giữ lại được một vài tính chất khác của tập lồi.

==Tính lồi trừu tượng (tiên đề)==
Khái niệm tính lồi có thể tổng quát hóa cho nhiều đối tượng khác, bằng cách lựa chọn một số tính chất của tính lồi làm tiên đề.

==Xem thêm==
*[[Giả lồi]]
*[[Đa giác#Phân loại đa giác|Đa giác lồi]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
*Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations",  in: ''Computational Morphology'', 137-152. [[Elsevier]], [[1988]].
*Rockafellar, Ralph Tyrell. ''Convex analysis''. Princeton University Press, 1970.
*Soltan, Valeriu, ''Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity'', Stiintsa, [[Chişinău|Chisinau]], [[1984]] (tiếng Nga).

==Liên kết ngoài==

{{Toán học}}

[[Thể loại:Hình học lồi]]
[[Thể loại:Giải tích]]
[[Thể loại:Toán học tô pô]]
[[Thể loại:Tập hợp]]