Xem mã nguồn của Vết (đại số tuyến tính)

Trong [[đại số tuyến tính]], '''vết''' (tiếng Anh: ''trace'') của một [[ma trận (toán học)|ma trận vuông]] A bậc ''n''x''n'' được xác định bằng tổng các phần tử trên [[đường chéo chính]] (đường nối từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) của A <ref>Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, trang 115.</ref>.
:<math>\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,</math>
với ''a<sub>ii</sub>'' là ký hiệu phần tử ở hàng thứ ''i'' và cột thứ ''i'' của ''A''. Tương đương với vết của ma trận là tổng của các [[vectơ riêng|trị riêng]] của nó, và nó [[bất biến của tensor|bất biến]] khi [[thay đổi cơ sở]]. Sự đặc trưng hóa này có thể sử dụng để xác định vết cho các toán tử tuyến tính trong trường hợp tổng quát. Chú ý rằng, vết chỉ được định nghĩa cho một ma trận vuông.

Xét về ý nghĩa hình học, vết ma trận có thể được giải thích như là một sự thay đổi nhỏ của thể tích (như đạo hàm của [[định thức]]), và được miêu tả chính xác bằng [[công thức Jacobi]]..

Ký hiệu của nó thường là '''Sp''' hoặc '''Tr'''.
==Ví dụ==
Gọi ''T'' là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận

:<math>\begin{bmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}.</math>

Thì {{nowrap|1=tr(''T'') = &minus;2 + 1 &minus; 1 = &minus;2}}.

==Tính chất==

===Liên hệ với các giá trị riêng===
Vết của ma trận '''A''' bằng tổng các [[giá trị riêng]] của nó <ref name="ReferenceA">Nguyễn Văn Hữu - Nguyễn Hữu Dư, Phân tích thống kê và dự báo, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, trang 27.</ref>. 
:<math>tr(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_{i}</math>,
trong đó <math>\lambda_{i}</math> là giá trị riêng của '''A'''.

===Tuyến tính===
Cho '''A''','''B''' là các ma trận vuông cùng cấp và '''c''' là hằng số, khi đó:
:<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>,
:<math>tr(c\cdot A)=c\cdot tr(A)</math>.

===Giao hoán===
Cho A là ma trận '''m''' hàng '''n''' cột, còn B là ma trận '''n''' hàng và '''m''' cột, thì <ref name="ReferenceA"/>:
:<math>tr(AB)=tr(BA)</math>.

===Vết của ma trận liên hợp===
Cho '''A''' là ma trận vuông cấp '''n''' bất kì,
Cho '''P''' là ma trận vuông cấp '''n''' và khả nghịch.
Liên hợp của '''A''' theo '''P''' là <math>PAP^{-1}</math>, khi đó ta có:
:<math>tr(A)=tr(PAP^{-1})</math>,
có nghĩa là khi ta lấy liên hợp của ma trận thì vết của nó không thay đổi.

===Vết của ma trận chuyển vị===
Cho '''A''' là ma trận vuông cấp '''n''' bất kì, <math>A^T</math> là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:
:<math>tr(A)=tr(A^T)</math>.

===Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng===
Vết của tích [[ma trận đối xứng]] và [[ma trận phản đối xứng]] bằng 0. Có nghĩa là:
Nếu '''A''' là [[ma trận đối xứng]] và '''B''' là [[ma trận phản đối xứng]], thì:
:<math>tr(AB)=0</math>.

==Xem thêm==

==Chú thích==
{{Tham khảo}}

==Tham khảo==

==Liên kết ngoài==

[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]
[[Thể loại:Lý thuyết ma trận]]